cho a+b=2 a,b>0 tìm min F=\(\dfrac{a^2}{a+1}\)+\(\dfrac{b^2}{b+1}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
LT
1
23 tháng 9 2023
`a, (3+2a^2)/a = 3/a+2a.`
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
`3/a + 2a>=2.sqrt(3/a.2a) = 2sqrt6`.
Đẳng thức xảy ra `<=> 3=2a^2`
`<=> a^2=3/2`.
`<=> a=sqrt(3/2)`.
MH
9 tháng 12 2021
ab=1
⇒ \(a=\dfrac{1}{b}\)
⇒ \(a^2=\dfrac{1}{b^2}\)
Thay vào P:
\(P=\dfrac{1}{\dfrac{1}{b^2}}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{2}{\dfrac{1}{b^2}+b^2}\)
\(=\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right)+\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}\)
Áp dụng BĐT Cô Si cho 2 số dương
⇒ \(P\) ≥ \(2\sqrt{\left(b^2+\dfrac{1}{b^2}\right).\dfrac{2}{b^2+\dfrac{1}{b^2}}}\)
\(=2\sqrt{2}\)
Min P= \(2\sqrt{2}\) ⇔ \(b^2=\dfrac{1}{b^2}\) ⇔b=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
25 tháng 3 2023
a.
\(F=\dfrac{a}{b+2}\Rightarrow F.b+2F=a\)
\(\Rightarrow2F=a-F.b\)
\(\Rightarrow4F^2=\left(a-F.b\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left(1^2+F^2\right)=F^2+1\)
\(\Rightarrow3F^2\le1\)
\(\Rightarrow-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\le F\le\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
Dấu "=" lần lượt xảy ra tại \(\left(a;b\right)=\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\) và \(\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2};-\dfrac{1}{2}\right)\)
b. Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=x\\a-2b=y\end{matrix}\right.\) quay về câu a
24 tháng 11 2021
\(1,\text{Áp dụng Mincopxki: }\\ Q\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2}\ge\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: }\\ P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{1}=9\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2021
\(\left(a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}\right)\left(1+3+5\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow3\sqrt{a^2+\dfrac{b^2}{3}+\dfrac{c^2}{5}}\ge a+b+c\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{1}{a}+\dfrac{3^2}{b}+\dfrac{5^2}{c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+3\sqrt{\dfrac{\left(1+3+5\right)^2}{a+b+c}}=\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{\sqrt{a+b+c}}\)
\(\Rightarrow P\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{27}{2\sqrt{a+b+c}}+\dfrac{1}{6}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{27^2\left(a+b+c\right)}{2^3\left(a+b+c\right)}}+\dfrac{1}{6}.9=15\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;3;5\right)\)
2 tháng 12 2021
Câu 1
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\\ \Leftrightarrow N=ab+\dfrac{1}{16ab}+\dfrac{15}{16ab}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{16}}+\dfrac{15}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{15}{4}=\dfrac{17}{4}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
Câu 2:
\(P=a+\dfrac{1}{a}+2b+\dfrac{8}{b}+3c+\dfrac{27}{c}+4\left(a+b+c\right)\\ P\ge2\sqrt{1}+2\sqrt{16}+2\sqrt{81}+4\cdot6=2+8+18+4=32\)
Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\c=3\end{matrix}\right.\)
Câu 3: Cho a,b,c là các số thuộc đoạn [ -1;2 ] thõa mãn \(a^2+b^2+c^2=6.\) CMR : \(a+b+c>0\) - Hoc24
HN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$P=\frac{18}{a^2+b^2}+\frac{10}{2ab}\geq \frac{(\sqrt{18}+\sqrt{10})^2}{a^2+b^2+2ab}$
$=\frac{(\sqrt{18}+\sqrt{10})^2}{(a+b)^2}=(\sqrt{18}+\sqrt{10})^2=28+12\sqrt{5}$
Vậy $P_{\min}=28+12\sqrt{5}$
Áp dụng BĐT :
\(\dfrac{a^{^2}}{x}+\dfrac{b^{^2}}{y}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(x+y\right)}\) (Bạn tự chứng minh nhé)
\(F=\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+1+b+1}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{a+b+2}\)
\(\Rightarrow F=\dfrac{a^2}{a+1}+\dfrac{b^2}{b+1}\ge\dfrac{2^2}{2+2}=1\)
Vậy \(Min\left(F\right)=1\)