Cho \(A = \left\{ {{a_1};{a_2};{a_3};{a_4};{a_5}} \right\}\) là một tổ hợp có 5 phần tử. Chứng minh rằng tổ hợp con có số lẻ \(\left( {1,3,5} \right)\) phần tử của A bằng tập hợp con có số chẵn \(\left( {0,2,4} \right)\) phần tử của A.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 3 2021
a) Đặt \(d=\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1=dx_1\\a_2=dx_2\\...\\a_n=dx_n\end{matrix}\right.\) (với \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\)).
Ta có \(A_i=\dfrac{A}{a_i}=\dfrac{d^nx_1x_2...x_n}{dx_i}=d^{n-1}\dfrac{x_1x_2...x_n}{x_i}=d^{n-1}B_i\forall i\in\overline{1,n}\).
Từ đó \(\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d^{n-1}\left[B_1,B_2,...,B_n\right]\).
Mặt khác do \(\left(x_1,x_2,...,x_n\right)=1\Rightarrow\left[B_1,B_2,...B_n\right]=x_1x_2...x_n\).
Vậy \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)\left[A_1,A_2,...,A_n\right]=d.d^{n-1}x_1x_2...x_n=d^nx_1x_2...x_n=A\).
7 tháng 11 2016
- Xét 4 số: a1; a2; a3; a4; 4 số này khi chia cho 3 chỉ có thể dư 0; 1; 2. Có 4 số mà chỉ có 3 loại số dư nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 3, hiệu của chúng chia hết cho 3
- Tương tự xét 4 số a2; a3; a4; a5 và => 4 số này tạo ra ít nhất 1 hiệu chia hết cho 3
Từ 2 điều trên => D chia hết cho 9 (1)
Có 5 số nguyên mà chỉ có 2 loại số lẻ và chẵn nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 3 số cùng lẻ (chẵn)
- Nếu cả 5 số đó cùng chẵn hoặc cùng lẻ ta dễ dàng => D chia hết cho 32
- + Nếu trong 5 số, có 1 số lẻ, 4 số chẵn, không mất tính tổng quát ta giả sử 4 số đó là a1; a2; a3; a4, dễ dàng => D chia hết cho 32
+ Nếu trong 5 số, có 1 số chẵn, 4 số lẻ tương tự như trên cũng => D chia hết cho 32
- + Nếu trong 5 số, có 3 số chẵn, 2 số lẻ ; 3 số chẵn này khi chia cho 4 chỉ có thể dư 0 hoặc 2. Có 3 số mà chỉ có 2 loại số dư nên theo nguyên lí Đi rich let có ít nhất 2 số cùng dư khi chia cho 4, hiệu của chúng chia hết cho 4 cộng với 3 hiệu còn lại chia hết cho 2 tạo bởi 3 số chẵn (trừ trường hợp trên) và 2 số lẻ cũng => D chia hết cho 32
+ Xét tương tự với trường hợp trong 5 số có 3 số lẻ, 2 số chẵn
Vậy trong các trường hợp ta luôn được D chia hết cho 32 (2)
Từ (1) và (2), do (9;32)=1 => D chia hết cho 288 (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
15 tháng 1
Do \(a_1;a_2;...a_n\in\left[0;1\right]\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0\le a_1\le1\\0\le a_2\le1\\...\\0\le a_n\le1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\left(1-a_1\right)\ge0\\a_2\left(1-a_2\right)\ge0\\...\\a_n\left(1-a_n\right)\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a_1\ge a_1^2\\a_2\ge a_2^2\\...\\a_n\ge a_n^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow a_1^2+a_2^2+...+a_n^2\le a_1+a_2+...+a_n\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\left(1+a_1+a_2+...+a_n\right)^2\ge4\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\)
\(\Leftrightarrow1+2\left(a_1+a_2+...+a_n\right)+\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2\ge4\left(a_1+a_2+...+a_n\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2-2\left(a_1+a_2+...+a_n\right)+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a_1+a_2+...+a_n-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra tại \(\left(a_1,a_2,...,a_n\right)=\left(0,0,..,1\right)\) và các hoán vị
T
21 tháng 9 2018
Chả biết đúng hay sai! Cứ làm vậy
Ta có: \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=...=\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_1}\)
\(=\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n}{a_2+a_3+..+a_n+a_1}=1\Rightarrow a_1=a_2=...=a_n\) (theo t/c tỉ dãy số bằng nhau)
Do đó:
a) \(\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^2}=\frac{na_1^2}{\left(na_1\right)^2}=\frac{na_1^2}{n^2a_1^2}=\frac{1}{n}\)
b) \(\frac{a_1^7+a_2^7+...+a_n^7}{\left(a_1+a_2+...+a_n\right)^7}=\frac{na_1^7}{\left(na_1\right)^7}=\frac{na_1^7}{n^7a_1^7}=\frac{n}{n^7}\)
GP
21 tháng 9 2018
Bạn gì có nhãn "CTV" gì ấy trả lời đúng không vậy mn? Đang bí bài này...=((
CC
9 tháng 3 2020
a) Sửa lại đề \(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=......=\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_1}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=..........=\frac{a_{n-1}}{a_n}=\frac{a_n}{a_1}=\frac{a_1+a_2+......+a_{n-1}+a_n}{a_2+a_3+........+a_n+a_1}=1\)( vì \(a_1+a_2+.......+a_n\ne0\))
\(\Rightarrow a_1=a_2\); \(a_2=a_3\); ........ ; \(a_{n-1}=a_n\); \(a_n=a_1\)
\(\Rightarrow a_1=a_2=........=a_n\)( đpcm )
b) Vì \(a_1=a_2=.......=a_n\)\(\Rightarrow a_1^{10}=a_2^{10}=.......=a_n^{10}\)
Ta có: \(A=\frac{a_1^{10}+a_2^{10}+.........+a_n^{10}}{\left(a_1+a_2+.......+a_n\right)^{10}}=\frac{n.a_1^{10}}{\left(n.a_1\right)^{10}}=\frac{n.a_1^{10}}{n^{10}.a_1^{10}}=\frac{n}{n^{10}}=\frac{1}{n^9}\)
Vậy \(A=\frac{1}{n^9}\)
Số tổ hợp con có x phần tử là số tổ hợp chập x của 5.
=> Số tổ hợp con có lẻ phần tử là: \(C_5^1 + C_5^3 + C_5^5=5+10+1=16\)
Số tổ con có chẵn phần tử là: \(C_5^0 + C_5^2 + C_5^4=1+10+5=16\)
\( \Rightarrow C_5^0 + C_5^2 + C_5^4 = C_5^1 + C_5^3 + C_5^5\) (đpcm)