Chứng tỏ rằng \(\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = 0.\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QT
1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Vì \(\left| {\frac{e}{\pi }} \right| < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim {\left( {\frac{e}{\pi }} \right)^n} = 0.\)
QT
1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
a) Vì \(\left| {{u_n}} \right| = \left| 0 \right| = 0 < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim 0 = 0;\)
b) Vì \(0 < \left| {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right| < 1\) nên theo định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ta có \(\lim \frac{1}{{\sqrt n }} = 0.\)
NK
1
TN
9 tháng 8 2016
Đặt \(A=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}\)
\(2A=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}\right)\)
\(2A=1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\)
\(2A-A=\left(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{n-1}}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}\right)\)
\(A=1-\frac{1}{2^n}< 1\)với mọi n -->Đpcm
QT
1
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
22 tháng 9 2023
Vì \(\lim \left( {\frac{{ - 4n + 1}}{n} + 4} \right) = \lim \frac{1}{n} = 0\) nên \(\lim \frac{{ - 4n + 1}}{n} = - 4.\)
8 tháng 3 2016
bạn quy đồng vs mẫu chung là n(n+1) ta có tử 2 phân số là n+1 và n
=>n+1/n(n+1) - n/n(n+1)=1/n(n+1)
tk mk
8 tháng 8 2022
1) Có \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2}u^2_n-2u_n+2=\dfrac{1}{2}\left(u_n-2\right)^2\) (1)
+) CM \(u_n>2\) (n thuộc N*)
n=1 : u1= 5/2 > 2 (đúng)
Giả sử n=k, uk > 2 (k thuộc N*)
Ta cần CM n = k + 1. Thật vậy ta có:
\(u_{k+1}=\dfrac{1}{2}u^2_k-u_k+2=\dfrac{1}{2}\left(u_k-2\right)^2+u_k\) (đúng)
Vậy un > 2 (n thuộc N*) (2)
Từ (1) (2) => un+1 - un > 0, hay un+1 > un
=> (un) là dãy tăng => \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}u_n=+\infty\)
2) \(2u_{n+1}=u^2_n-2u_n+4\)
\(\Leftrightarrow2u_{n+1}-4=u^2_n-2u_n\)
\(\Leftrightarrow2\left(u_{n+1}-2\right)=u_n\left(u_n-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}-2}=\dfrac{2}{u_n\left(u_n-2\right)}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_n}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(S=\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{u_2}+...+\dfrac{1}{u_n}\)
\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_2-2}+\dfrac{1}{u_2-2}+...-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(=\dfrac{1}{u_1-2}-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(=2-\dfrac{1}{u_{n+1}-2}\)
\(\Leftrightarrow\lim\limits_{n\rightarrow\infty}S=2\)
\(\lim \frac{{n - 1}}{{{n^2}}} = \lim \left( {\frac{1}{n} - \frac{1}{{{n^2}}}} \right) = \lim \frac{1}{n} - \lim \frac{1}{{{n^2}}} = 0\)