Question

[Lê Thiện Khôi]

Cho .

Hãy so sánh S và .

Answer 1

[Rau]

đề có vấn đề chỗ 1/ căn(1998-1) 

Answer 2

[Thiên An]

Sửa đề: Cái phân số cuối cùng phải là  \(\frac{1}{\sqrt{1998.1}}\)  nha bạn :)

Giải: Ta thấy các số hạng của S đều có dạng  \(\frac{1}{\sqrt{k\left(1999-k\right)}}\)  với  \(k\in N;1\le k\le1998\)

Áp dụng BĐT Cô-si dạng  \(\sqrt{ab}\le\frac{a+b}{2}\)   (Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b) ta có

\(\frac{1}{\sqrt{k\left(1999-k\right)}}\ge\frac{1}{\frac{k+1999-k}{2}}=\frac{2}{1999}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\)  \(k=1999-k\)  \(\Leftrightarrow\)  \(k=\frac{1999}{2}\)  (vô lý vì  \(k\in N\)).

Do đó đẳng thức không xảy ra, hay  \(\frac{1}{\sqrt{k\left(1999-k\right)}}>\frac{2}{1999}\)

Mà S có 1998 số dạng \(\Rightarrow\)  \(S>2.\frac{1998}{1999}\)