A,B,M thẳng hàng. Cho tam giác ABC cân ở A. Hai tia phân giác của góc ABC và của góc ACB cắt nhau ở I. Chứng minh: a, tam giác BIC cân tại I. b, AI là đường trung trực của BC
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: góc IBC=góc ABC/2
góc ICB=góc ACB/2
mà góc ABC=góc ACB
nên góc IBC=góc ICB
=>ΔICB cân tại I
b: AB=AC
IB=IC
=>AI là trung trực của BC
`a)`
có : BI là phan giác của góc `ABC`
`=> góc ABI = góc IBC = 1/2 góc ABC`
CI là phân giác của góc `ACB`
`=> góc ACI = góc ICB = 1/2 góc ACB`
Mà `góc ABC = góc ACB`(tam giác `ABC` cân)
`=> góc IBC = góc ICB`
`=>` tam giác ` BIC` cân
`b)`
Có :
tam giác `ABC` cân
`=> AB = AC `
`=> B` thuộc đường trung trực của BC (1)
lại có tam giác `BIC` cân
`=> BI = IC`
`=> I` thuộc đường trung trực của BC (2)
Từ `(1),(2) => AI` là đường trung trực của BC
Tam giác ABC có I là giao điểm của 2 đường phân giác của góc B và C
=> AI là phân giác của góc A(1)
Mà tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC
=> AM vừa là đường trung tuyến vừa phân giác của góc A(2)
Từ (1) và (2) suy ra AI trùng AM
=> A; I; M thằng hàng.
Gọi giao điểm của BI với AC là E, giao điểm của CI và AB và F
Ta có: \(\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}\)(BE là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))
\(\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=\dfrac{\widehat{ACB}}{2}\)(CF là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\widehat{ACF}=\widehat{BCF}\)
Xét ΔFBC và ΔECB có
\(\widehat{FBC}=\widehat{ECB}\)(ΔABC cân tại A)
BC chung
\(\widehat{FCB}=\widehat{EBC}\)(cmt)
Do đó: ΔFBC=ΔECB(g-c-g)
Suy ra: FB=EC(hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{BFC}=\widehat{CEB}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)
Xét ΔFBI và ΔECI có
\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)(cmt)
FB=EC(cmt)
\(\widehat{BFI}=\widehat{CEI}\)(cmt)
Do đó: ΔFBI=ΔECI(g-c-g)
Suy ra: IB=IC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB=AC(ΔBAC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: IB=IC(cmt)
nên I nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Ta có: MB=MC(M là trung điểm của BC)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra A,I,M thẳng hàng(Đpcm)
a: Xét ΔKBC vuông tại K và ΔHCB vuông tại H có
BC chung
\(\widehat{KBC}=\widehat{HCB}\)
Do đó: ΔKBC=ΔHCB
Suy ra: \(\widehat{KCB}=\widehat{HBC}\)
hay ΔIBC cân tại I
b: Xét ΔABI và ΔACI có
AB=AC
AI chung
BI=CI
Do đó: ΔABI=ΔACI
Suy ra: \(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)
hay AI là tia phân giác của góc A
a, Ta có: Tam giác ABC cân tại A (gt)
=> góc ABC = góc ACB
=> 1/2 góc ABC = 1/2 góc ACB
=> góc IBC = góc ICB
=> Tam giác BIC cân tại I
b, Gọi M là giao điểm của AI với BC
Ta có tam giác BIC cân (câu a)
=> IB = IC ( cặp góc tương ứng )
Xét tam giác ABI và tam giác ACI:
AB = AC (gt)
góc ABI = góc ACI (c.m trên )
IB = IC (c.m trên )
=> Tam giác ABI = tam giác ACI (c.g.c)
=>góc BAI = góc CAI ( cặp góc tương ứng )
Xét tam giác BAM và tam giác CAM
góc BAI = góc CAI (c.m trên)
AB = AC (gt)
góc ABC = góc ACB (gt)
=> tam giác BAM = tam giác CAM (g.c.g)
=>BM = CM (cặp cạnh tương ứng) (1)
=>góc AMB = góc AMC (cặp góc tương ứng )
mà góc AMB + góc AMC = 180o (kề bù)
=> góc AMB = góc AMC = 180o / 2 = 90o (2)
Từ (1)(2) => AI trung trực BC
Gọi M, N là trung điểm của AB và AC.
Ta có: AM = 1/2 AB (gt); AN = 1/2 AC (gt)
Mà AB = AC (gt)
⇒ AM = AN
Xét hai tam giác vuông AMI và ANI, ta có:
∠(AMI) = ∠(ANI) = 90o
AM = AN (chứng minh trên)
AI cạnh huyền chung
⇒ ΔAMI= ΔANI (cạnh huyền, cạnh góc vuông)
⇒ ∠(A1) = ∠(A2) (hai góc tương ứng)
Vậy AI là tia phân giác của ∠(BAC)
a: góc IBC=góc ABC/2
góc ICB=góc ACB/2
mà góc ABC=góc ACB
nên góc IBC=góc ICB
=>ΔIBC cân tại I
b: AB=AC
IB=IC
=>AI là trung trực của BC