Question

[Buddy]

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D’)

b) GọiG1,G2ần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D’).

Chứng minh rằngG1,G2
lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

c) Chứng minh rằng BG1=G1G2=D′G2

Answer 1

[Quoc Tran Anh Le]

a) Ta có: AD // B’C’, AD = B’C’ nên ADC’B’ là hình bình hành

Suy ra AB’ // DC’ nên AB‘ // (A’C’D) (1)

Ta có: (ACC’A‘) là hình bình hành nên AC // A’C‘

Suy ra AC // (A’C’D‘) (2)

Mà AB‘, AC thuộc (ACB‘) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra  (ACB‘) // (A‘C’D)

b) Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD, A’B’C’D’

Trong (BDD’B’): B’O cắt BD’

Mà B’O thuộc (ACB’), BD’ cắt (ACB’) tại\({G_1}\)

Suy ra: B’O cắt BD’ tại\({G_1}\)

Tương tự, ta có: DO’ cắt BD’ tại\({G_2}\)

Ta có: tam giác \({G_1}OB\) đồng dạng với tam giác \({G_1}B'D'\) (do BD // B’D’)

Suy ra\(\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B'}} = \frac{{OB}}{{B'D'}} = \frac{1}{2}\)

Nên \(\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B'}} = \frac{2}{3}\)

Do đó:\({G_1}\) là trọng tâm tam giác ACB’

Chứng minh tương tự ta có:\({G_2}\) là trọng tâm tam giác A’C’D

c) Ta có tam giác\({G_1}OB\) đồng dạng với tam giác \({G_1}B'D'\)

Suy ra\(\frac{{{G_1}O}}{{{G_1}B'}} = \frac{{OB}}{{B'D'}} = \frac{1}{2}\)

Nên \({G_1}B = \frac{1}{3}BD'(1)\)

Tương tự ta có:\(\frac{{{G_2}D'}}{{{G_2}B}} = \frac{{OD'}}{{DB}} = \frac{1}{2}\)

Nên \({G_2}D' = \frac{1}{3}{\rm{DD}}'(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra\({G_1}B = {G_1}{G_2} = {G_2}D'\)