Question

[Đặng Việt Anh]

E= 1^2+2^2+3^2+...+59^2

giúp mik vs mik đag cần gấp

Answer 1

[Nguyễn Gia Khánh]

\(E=1^2+2^2+3^2+....+59^2\)

\(E=1+2\left(1+1\right)+3\left(2+1\right)+...+59\left(58+1\right)\)

\(E=1+1\times2+2+2\times3+3+....+58\times59+59\)

\(E=\left(1+2+3+...+59\right)+\left(1\times2+2\times3+....+58\times59\right)\)

Ta đặt :

\(A=1+2+3+...+59\)

Số số hạng là \(\left(59-1\right)\div1+1=59\) số hạng

Tổng là \(\left(59+1\right)\times59\div2=1770\) 

=> \(A=1770\) 

Ta đặt

   \(B=1\times2+2\times3+...+58\times59\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times3+....+58\times59\times3\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times\left(4-1\right)+...+58\times59\times\left(57-54\right)\)

\(3B=1\times2\times3+2\times3\times4-2\times3\times1+...+58\times59\times57-58\times59\times54\)

\(3B=58\times59\times57\)

\(B=58\times59\times19\)

\(B=65018\)

=> \(E=A+B\) 

=> \(E=1770+65018\) 

=> \(E=66788\)

Answer 2

[Lê Song Phương]

Trước hết ta sẽ chứng minh \(1^2+2^2+...+n^2=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\) (*). Thật vậy, với \(n=1\) thì hiển nhiên \(1^2=\dfrac{1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{6}\). Giả sử (*) đúng đến \(n=k\), khi đó \(1^2+2^2+...+k^2=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\). Ta cần chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có:

\(1^2+2^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2\)

\(=\dfrac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\left(k+1\right)^2\) 

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6\left(k+1\right)\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k^2+7k+6\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)

\(=\dfrac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]\left[2\left(k+1\right)+1\right]}{6}\).

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\). Ta có đpcm. Thay \(n=59\) thì ta có:

\(E=1^2+2^2+...+59^2=\dfrac{59\left(59+1\right)\left(2.59+1\right)}{6}=70210\)