Question

[Lê Công Hiếu]

1.       Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AD của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Từ E vẽ EM, EK lầ lượt vuông góc với đường thẳng AB, AC, tại M và K.

a)       Chứng minh: tứ giác BDEM nội tiếp và góc MDE = góc ACE

b)      Qua A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O). Từ E kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng xy tại Q. Chứng minh: tam giác EQM đồng dạng với tam giác EKD.

c)       Gọi H là điểm đối xứng của E qua đường thẳng BC. Tia BH cắt AC tại F, tia CH cắt AB tại N. Chứng minh: NF // MK

Answer 1

[Lê Tài Bảo Châu]

a) Ta có: \(\hept{\begin{cases}EM\perp AB\\AE\perp BC\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{BME}=90^0\\\widehat{BDE}=90^0\end{cases}}}\)

Xét tứ giác BDEM có: \(\widehat{BME}+\widehat{BDE}=180^0\)

Mà 2 góc này ở vị trí đối nhau của tứ giác BDEM

\(\Rightarrow BDEM\)nội tiếp ( dhnb )

b) Vì \(EQ\perp xy\)\(\Rightarrow\widehat{EQA}=90^0\)

Xét tứ giác EMQA có: 

\(\widehat{EMA}=\widehat{EQA}\left(=90^0\right)\)Mà 2 đỉnh M,Q cùng nhìn cạnh AE dưới 1 góc vuông

\(\Rightarrow EMQA\)nội tiếp ( dhnb)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{MQE}=\widehat{MAE\left(1\right)}\\\widehat{QAM}=\widehat{QEM}\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(\widehat{MAE}=\widehat{BCE}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{BE}\right)\left(3\right)\)

Vì EK vuông góc với AC \(\Rightarrow\widehat{EKC}=90^0\)

Xét tứ giác EDKC có: \(\widehat{EDC}=\widehat{EKC}\left(=90^0\right)\)

Mà 2 đỉnh D,K cùng nhìn cạnh EC dưới 2 góc vuông

\(\RightarrowÉDKC\)nội tiếp ( dhnb )

\(\Rightarrow\widehat{DKE}=\widehat{BCE}\left(4\right)\)và \(\widehat{DEK}=\widehat{DCK}\left(5\right)\)

Từ (1) , (3) và (4) \(\Rightarrow\widehat{DKE}=\widehat{MQE}\)

Xét (O) có AQ là tiếp tuyến của (O) ; AB là dây cung 

\(\Rightarrow\widehat{QAB}=\widehat{ACB}\left(6\right)\)

Từ (2) ,(5) và (6)  \(\Rightarrow\widehat{MEQ}=\widehat{DEK}\)

Xét tam giác EQM và tam giác EKD có:

\(\hept{\begin{cases}\widehat{MEQ}=\widehat{DEK}\left(cmt\right)\\\widehat{MQE}=\widehat{DKE}\left(cmt\right)\end{cases}\Rightarrow\Delta EQM~\Delta EKD\left(g-g\right)}\)

c) Gọi AG là đường kính của (O)

Vì tam giác HCE có CD vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến của tam giác HCE

\(\Rightarrow\Delta HCE\)cân tại C

=> CD cũng là tia phân giác góc HCE

\(\Rightarrow\widehat{HCD}=\widehat{DCE}\)(7)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{DCE}=\widehat{NAD}\\\widehat{NHA}=\widehat{DHC}\left(2goc-đoi-đinh\right)\\\widehat{DHC}+\widehat{HCD}=90^0\end{cases}}\)kết hợp với (7)

\(\Rightarrow\widehat{NAH}+\widehat{NHA}=90^0\)

Xét tam giác NAH có: \(\widehat{NAH}+\widehat{NHA}+\widehat{ANH}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ANH}=90^0\)

\(\Rightarrow CN\perp AB\)

Xét tam giác ABC có: \(\hept{\begin{cases}CN\perp AB\\AD\perp BC\end{cases}}\); CN cắt AD tại H

\(\Rightarrow H\)là trực tâm của tam giác ABC

\(\Rightarrow BF\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=90^0\)

Ta có: tứ giác BNFC nội tiếp ( cái này dễ , có 2 góc vuông = nhau; tự cm nha vì bài dài )

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{AFN}\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AGC}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AFN}=\widehat{AGC}\)Mà \(\widehat{AGC}+\widehat{GAC}=90^0\)( ko hiểu thì hỏi nhé, làm tắt vì bài dài )

\(\Rightarrow\widehat{AFN}+\widehat{GAC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{APF}=90^0\)

\(\Rightarrow AG\perp NF\)(8)

+) Ta có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{MDE}=\widehat{MBE}\left(MBDEnt\right)\\\widehat{MBE}=\widehat{ACE}\left(ABECnt\right)\\\widehat{ACE}=\widehat{ADK}\left(DECKnt\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\widehat{MDE}=\widehat{ADK}\)mà \(\widehat{MDE}+\widehat{MDA}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ADK}+\widehat{MDA}=180^0\)

\(\Rightarrow M,D,K\)thẳng hàng

Lại có: \(\hept{\begin{cases}\widehat{DME}=\widehat{DBE}\\\widehat{BED}=\widehat{BAQ}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{BA}\right)\\\widehat{BAQ}=\widehat{QEM}\end{cases}}\)mà \(\widehat{DBE}+\widehat{DEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{QEM}+\widehat{DME}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MIE}=90^0\)

\(\Rightarrow QE\perp MK\) Mà \(QE//AG\)( cùng vuông góc với AQ )

\(\Rightarrow AG\perp MK\)(9)

Từ (8) và (9) \(\Rightarrow NF//MK\left(đpcm\right)\)