Cho (O) và 1 điểm M nằm ngoài đường tròn . MO cắt (O) tại E,E sao cho ME<MF , kẻ cát tuyến MAB và tiếp tuyến MC đối với đường tròn ( A nằm giữa M,B và A và C nằm khác phía đối với MO ) . Từ C kẻ CH \(⊥\)MO
a, Chứng minh AHOB là tứ giác nội tiếp
b, Trên nửa mặt phẳng bờ OM chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính MF cắt tiếp tuyến tại E của (O) tại K . KF cắt CO tại S . Chứng minh KC \(⊥\)MS
c, P và Q lần lượt là tâm đườn tròn ngoại tiếp tam giác EFS và ABS . T là trung điểm của KS . Chứng minh P,Q,T thẳng hàng
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
d) Ta có:
K là trung điểm của CE (E đối xứng với C qua AB)
K là trung điểm của AB
AB ⊥ CE (MO ⊥ AB)
⇒ Tứ giác AEBC là hình thoi
⇒ BE // AC
Mà AC ⊥ AD (A thuộc đường tròn đường kính CD)
Nên BE ⊥ AD và DK ⊥ AB
Vậy E là trực tâm của tam giác ADB
a: góc SMO+góc SNO=180 độ
=>SMON nội tiếp
Tâm là trung điểm của OS
R=OS/2
b: ΔOMS vuông tại M có sin MSO=MO/OS=1/2
nên góc MSO=30 độ
=>góc MOK=60 độ
=>ΔOMK đều
=>MK=OM=R=OK
Xét ΔOKN có OK=ON và góc KON=60 độ
nên ΔOKN đều
=>KN=ON=R
=>OM=MK=KN=ON
=>OMKN là hình thoi
=>KM=KN
Ta có: \(\widehat{OAM}=\widehat{OBM}=90^o\)(Vì AM là đường trung tuyến của (O))
\(\Rightarrow\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^o\)
=> Tứ giác MAOB nội tiếp
Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau ta có MA=MB; OA=OB
=> MO là đường trung trực của AB
=> MO _|_ AB tại H
Mà \(\widehat{BAE}=90^o\)hay AE _|_ AB. Do đó AE // MO
Vì AE // MO và MA là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat{NMF}=\widehat{AEF}=\widehat{NAM}\)
=> Tam giác NMA đồng dạng tam giác NFM (gg)
=> \(\frac{NM}{NF}=\frac{NA}{NM}\)\(\Rightarrow NM^2=AN\cdot NF\left(1\right)\)
Ta có: \(\widehat{MFB}=\widehat{MHB}=90^o\)=> Tứ giác MFHB nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{FHN}=\widehat{FBM}\)mà \(\widehat{FBM}=\widehat{NAH}\)
\(\Rightarrow\widehat{NAH}=\widehat{FHN}\)
\(\Rightarrow\Delta NAH\)đồng dạng \(\Delta NHF\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{NA}{NH}=\frac{NH}{NF}\Rightarrow NH^2=NA\cdot NF\left(2\right)\)
(1)(2) => NM2=NH2 => MN=NH (đpcm)
3: Xét (O) có
MA,MB là tiếp tuyến
=>MA=MB
mà OA=OB
nên OM là trung trực của AB
=>OM vuông góc AB tại H
=>MH*MO=MA^2
Xét ΔMAB và ΔMCA có
góc MAB=góc MCA
góc AMB chung
=>ΔMAB đồng dạng với ΔMCA
=>MA/MC=MB/MA
=>MA^2=MB*MC
=>MH*MO=MB*MC
=>MH/MB=MC/MO
=>MH/MC=MB/MO
=>ΔMHB đồng dạng với ΔMCO
=>góc MHB=góc MCO
=>góc OHB+góc OCB=180 độ
=>OHBC nội tiếp
=>góc BHC=góc BOC
=>góc BHC=2*góc BDC(ĐPCM)
1) Chứng minh: Tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn
Vẽ được các yếu tố để chứng minh phần (1).
Ta có M B O ^ = 90 0 , M A O ^ = 90 0 (theo t/c của tiếp tuyến và bán kính)
Suy ra: M A O ^ + M B O ^ = 180 0 .Vậy tứ giác MAOB nội tiếp đường tròn.
2) Chứng minh: MN2 = NF. NA và MN = NH
Ta có A E / / M O ⇒ A E M ^ = E M N ^ mà A E M ^ = M A F ^ ⇒ E M N ^ = M A F ^
Δ N M F v à Δ N A M có: M N A ^ chung; E M N ^ = M A F ^
nên Δ N M F đồng dạng với Δ N A M
⇒ N M N F = N A N M ⇒ N M 2 = N F . N A 1
Mặt khác có: A B F ^ = A E F ^ ⇒ A B F ^ = E M N ^ h a y H B F ^ = F M H ^
=> MFHB là tứ giác nội tiếp
⇒ F H M ^ = F B M ^ = F A B ^ h a y F H N ^ = N A H ^
Xét Δ N H F & Δ N A H c ó A N H ^ c h u n g ; N H F ^ = N A H ^
=> Δ N M F đồng dạng Δ N A H ⇒ ⇒ N H N F = N A N H ⇒ N H 2 = N F . N A 2
Từ (1) và (2) ta có NH = HM
3) Chứng minh: H B 2 H F 2 − EF M F = 1 .
Xét Δ M AF và Δ M E A có: A M E ^ chung, M A F ^ = M E A ^
suy ra Δ M AF đồng dạng với Δ M E A
⇒ M E M A = M A M F = A E A F ⇒ M E M F = A E 2 A F 2 (3)
Vì MFHB là tứ giác nội tiếp ⇒ M F B ^ = M H B ^ = 90 0 ⇒ B F E ^ = 90 0 và A F H ^ = A H N ^ = 90 0 ⇒ A F E ^ = B F H ^
Δ A E F và Δ H B F có: E F A ^ = B F H ^ ; F E A ^ = F B A ^
suy ra Δ A E F ~ Δ H B F
⇒ A E A F = H B H F ⇒ A E 2 A F 2 = H B 2 H F 2 (4)
Từ (3) và (4) ta có M E M F = H B 2 H F 2 ⇔ M F + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ 1 + F E M F = H B 2 H F 2 ⇔ H B 2 H F 2 − F E M F = 1