Question

[Vũ Đình Phúc]

Cho x,y ϵ N thỏa mãn 3x²+x=4y²+y

CMR    A= 2xy + 4.(x+y)³ + x²+ y² là số chính phương

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

$3x^2+x=4y^2+y$

$\Leftrightarrow 4(y^2-x^2)+(y-x)=-x^2$

$\Leftrightarrow (y-x)[4(x+y)+1]=x^2$

$\Leftrightarrow (x-y)[4(x+y)+1]=x^2$

Gọi $d=(x-y, 4x+4y+1)$

Khi đó: $x-y\vdots d(1); 4x+4y+1\vdots d(2)$. Mà $x^2=(x-y)(4x+4y+1)$ nên $x^2\vdots d^2$
$\Rightarrow x\vdots d(3)$.

Từ $(1); (3)\Rightarrow y\vdots d$

Từ $x,y\vdots d$ và $4x+4y+1\vdots d$ suy ra $1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

Vậy $x-y, 4x+4y+1$ nguyên tố cùng nhau. Mà tích của chúng là scp $(x^2)$ nên bản thân mỗi số trên cũng là scp.

Đặt $4x+4y+1=t^2$ với $t$ tự nhiên.

Khi đó: $A=2xy+4(x+y)^3+x^2+y^2=(x+y)^2+4(x+y)^3=(x+y)^2[1+4(x+y)]$

$=(x+y)^2t^2=[t(x+y)]^2$ là scp

Ta có đpcm.