tìm min của A=\(a^3+b^3+c^3\)
biết \(a,b,c\ge-1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 4 2021
Lời giải:
Xét:
$\frac{a}{a^2+1}-\left(\frac{16}{25}-\frac{3}{25}a\right)=\frac{(a-2)^2(3a-4)}{25(a^2+1)}\geq 0$ với mọi $a\geq \frac{4}{3}$
$\Rightarrow \frac{a}{a^2+1}\geq \frac{16}{25}-\frac{3}{25}a$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại và cộng theo vế, suy ra:
$A\geq \frac{48}{25}-\frac{3}{25}(a+b+c)=\frac{6}{5}$
Vậy $A_{\min}=\frac{6}{5}$.
Giá trị này đạt tại $a=b=c=2$
27 tháng 4 2021
có cách nào không gượng ép như thế này không ạ
kiểu như phân tích chọn điểm rơi để tìm cách thêm bớt ấy ạ
TT
2
20 tháng 6 2019
Ta có : \(a^3+1=\left(a+1\right)\left(a^2-a+1\right)=\left(a+1\right)\left(a^2-a+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\left(a+1\right)\)
do đó : \(a^3-\frac{3}{4}a+\frac{1}{4}=\left(a+1\right)\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)với \(a\ge-1\)
Tương tự : \(b^3-\frac{3}{4}b+\frac{1}{4}\ge0,c^3-\frac{3}{4}c+\frac{1}{4}\ge0\)với \(b,c\ge-1\)
\(a^3+b^3+c^3-\frac{3}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{4}\ge0\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge-\frac{3}{4}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}a=-1\text{ hoặc }a=\frac{1}{2}\\.....\\a+b+c=0\end{cases}}\)
Vậy GTNN của A là \(\frac{-3}{4}\)\(\Leftrightarrow\) a,b,c có 2 số bằng \(\frac{1}{2}\)và 1 số bằng -1
L
0
có a+b+c=0 nữa nha
Giả sử \(a\ge b\ge c\). Khi đó \(a\ge0\) và \(1\ge a+b\ge0\)
Nếu \(a+b+c=0\) thì suy ra được \(a^3+b^3+c^3=3abc=-3ab\left(a+b\right)\)
Để tìm \(minA\) thì phải tìm \(maxP=ab\left(a+b\right)\)
Ta có \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\) nên \(P\le\frac{\left(a+b\right)^3}{4}\le\frac{1}{4}\)
Vậy \(minA=-\frac{3}{4}\), xảy ra tại \(a=b=\frac{1}{2},c=-1\)