Chung minh rang:
\(\frac{x}{x+y}\)+\(\frac{y}{y+z}\)+\(\frac{z}{z+x}\)< 2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KB
1
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
28 tháng 9 2021
\(2\left(x+y\right)=5\left(y+z\right)=3\left(z+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{15}=\frac{y+z}{6}=\frac{z+x}{10}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{z+x}{10}=\frac{y+z}{6}=\frac{\left(z+x\right)-\left(y+z\right)}{10-6}=\frac{x-y}{4}\)
\(\frac{x+y}{15}=\frac{z+x}{10}=\frac{\left(x+y\right)-\left(z+x\right)}{15-10}=\frac{y-z}{5}\)
Suy ra đpcm.
11 tháng 6 2017
\(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\)
\(\Rightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Rightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2abxy+2acxz+2bcyz\)\(=a^2x^2+b^2x^2+c^2x^2+a^2y^2+b^2y^2+c^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+c^2z^2\)
\(\Rightarrow b^2x^2-2abxy+a^2y^2+b^2z^2-2bcyz+c^2y^2+a^2z^2-2acxz+c^2x^2=0\)
\(\Rightarrow\left(bx-ay\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx-ay=0\\bz-cy=0\\az-cx=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}bx=ay\\bz=cy\\az=cx\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}\frac{b}{y}=\frac{a}{x}\\\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\\\frac{a}{x}=\frac{c}{z}\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}}\)
11 tháng 6 2017
\(\frac{\left(ax+by+cz\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=a^2+b^2+c^2\Leftrightarrow\left(ax+by+cz\right)^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+2\left(abxy+bcyz+cazx\right)=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2\)\(\Leftrightarrow a^2y^2-2ay\cdot bx+b^2x^2+b^2z^2-2bz\cdot cy+c^2y^2+a^2z^2-2az\cdot cx+c^2x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(az-cx\right)^2=0\)
mà \(\left(ay-bx\right)^2;\left(bz-cy\right)^2;\left(az-cx\right)^2\ge0\)nên \(\left(ay-bx\right)^2=\left(bz-cy\right)^2=\left(az-cx\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ay=bx\\bz=cy\\az=cx\end{cases}\Leftrightarrow\frac{a}{x}}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\left(x,y,z\ne0\right)\)(ĐPCM)
Bạn ko hiểu chỗ nào cứ hỏi lại mình nhé
WR
26 tháng 5 2015
đặt A=x/x+y+z +y/y+z+t +z/z+t+x +t/t+x+y
ta có x/x+y+z>x/x+y+z+t
y/y+z+t>y/x+y+z+t
z/z+t+x>z/z+t+x+y
t/t+x+y>t/x+t+y+z
=>A>x/x+y+t+z +t/x+y+t+z +z/x+y+t+z +y/x+t+y+z=x+y+z+t/x+y+z+t=1>3/4 (1)
*)y/y+z+t<y+x/y+z+t+x
x/x+y+z<x+t/x+y+z+t
z/z+t+x<z+y/x+y+z+t
t/t+x+y<t+z/t+x+y+z
=>A<y+x/x+y+z+t +x+t/x+y+z+t +z+y/x+y+z+t +t+z/x+y+z+t
=y+x+x+t+z+y+t+z/x+y+z+t=2(x+y+z+t)/x+y+z+t=2<5/2 (2)
từ (1) và (2) =>3/4<A<5/2
=>
26 tháng 5 2015
Ta có:
\(\frac{x}{x+y+z+t}+\frac{y}{x+y+z+t}+\frac{z}{x+y+z+t}+\frac{t}{x+y+z+t}<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<\frac{x+t}{x+y+z+t}+\frac{x+y}{x+y+z+t}+\frac{y+z}{x+y+z+t}+\frac{z+t}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow1<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<2\)
\(\Rightarrow\frac{3}{4}<\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+t}+\frac{z}{z+t+x}+\frac{t}{t+x+y}<\frac{5}{2}\)
Ta co:\(\frac{x}{x+y}\)<1\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}\)<\(\frac{x+y}{x+y+z}\)(1)
\(\frac{y}{y+z}\)<1\(\Rightarrow\)\(\frac{y}{y+z}\)<\(\frac{y+x}{y+z+x}\)(2)
\(\frac{z}{z+x}\)<1\(\Rightarrow\)\(\frac{z}{z+x}\)<\(\frac{z+y}{z+x+y}\)(3)
Tu(1)(2)(3)\(\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}\)+\(\frac{y}{y+z}\)+\(\frac{z}{z+x}\)< \(\frac{x+z}{x+y+z}\)+ \(\frac{y+x}{y+z+x}\) + \(\frac{z+y}{z+x+y}\)
\(\Rightarrow\)A <\(\frac{2x+2y+2z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\)A < \(\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\)A< 2
Bạn định kiểm tra chỉ số thông minh IQ người khác hà mà sao biết bài toán rồi vẫn hỏi?