Question

[PHAN HIEN HA Ha]

cho x+y+z=\(\frac{3}{2}\)TÌm min 

P=\(\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{4yz+1}+\frac{\sqrt{y^2+yz+z^2}}{4zx+1}+\frac{\sqrt{z^2+zx+x^2}}{4xy+1}\)

Answer 1

[Phước Nguyễn]

Hi! Mình có lời giải cho phần này rồi. Mình sẽ post lên sớm

Answer 2

[Thắng Nguyễn]

Hi ~! Mình xin slot trước :)

Giải

Dự đoán dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\) khi đó \(P=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

Ta sẽ chứng minh nó là GTNN của \(P\)

Ta có: \(x^2+xy+y^2=\frac{3\left(x+y\right)^2+\left(x-y\right)^2}{4}\ge\frac{3\left(x+y\right)^2}{4}\)

Do đó ta cần chứng minh 

\(\frac{x+y}{4yz+1}+\frac{y+z}{4xz+1}+\frac{x+z}{4xy+1}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{\left(y+z\right)^2+1}+\frac{y+z}{\left(x+z\right)^2+1}+\frac{x+z}{\left(x+y\right)^2+1}\ge\frac{3}{2}\)

Ta có: \(x+y+z=\frac{3}{2}\Rightarrow2x+2y+2z=3\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)+\left(y+z\right)+\left(x+z\right)=2\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}a=x+y\\b=y+z\\c=z+x\end{cases}}\) thì ta cần chứng minh 

\(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge\frac{3}{2}\)\(\forall\hept{\begin{cases}a,b,c>0\\a+b+c=3\end{cases}}\)

Lại có: \(\frac{a}{b^2+1}=a-\frac{ab^2}{b^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}\)

Tương tự ta cũng có: \(\frac{b}{c^2+1}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{a^2+1}\ge c-\frac{ac}{2}\)

Cộng theo vế các BĐT ta có: \(\frac{a}{b^2+1}+\frac{b}{c^2+1}+\frac{c}{a^2+1}\ge a-\frac{ab}{2}+b-\frac{bc}{2}+c-\frac{ac}{2}\)

\(=\left(a+b+c\right)-\frac{ab+bc+ca}{2}\ge3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) 

BĐT đã được c/m vậy ta có \(P\ge\frac{3\sqrt{3}}{4}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)