Tìm \(MIN\) của biểu thức \(P=x+\frac{1}{y\left(x-y\right)}\)(với \(x>y>0\))
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 3 2022
\(S=\left(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\right)=\left(\frac{1}{16x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{z}\right).\left(x+y+z\right)\) (do x+y+z=1 nên michf nhân vào kết quả sẽ ko bị thay đổi)
\(S=\frac{21}{16}+\left(\frac{x}{4y}+\frac{y}{16x}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{16x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{4y}\right)\)
AD BĐT cô si,ta có:
\(S\ge\frac{21}{16}+2.\sqrt{\frac{x}{4y}.\frac{y}{16x}}+2\sqrt{\frac{x}{z}.\frac{z}{16x}}+2.\sqrt{\frac{y}{z}.\frac{z}{4y}}=\frac{21}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+1=\frac{49}{16}\)
dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x=2y=z\\x+y+z=1\\x;y;z>0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{7}\\y=\frac{2}{7}\\z=\frac{4}{7}\end{cases}}}\)
11 tháng 3 2022
T=116x+14y+1zT=116x+14y+1z ; x + y + z = 1
⇒T=x+y+z16x+x+y+z4y+x+y+zz⇒T=x+y+z16x+x+y+z4y+x+y+zz
=116+y16x+z16x+x4y+14+z4y+xz+yz+1=116+y16x+z16x+x4y+14+z4y+xz+yz+1
=(116+14+1)+(y16x+x4y)+(z16x+xz)+(z4y+yz)=(116+14+1)+(y16x+x4y)+(z16x+xz)+(z4y+yz) (1)
x;y;z>0⇒y16x;x4y;z16x;xz;z4y;yz>0x;y;z>0⇒y16x;x4y;z16x;xz;z4y;yz>0
áp dụng bđt cô si :
y16x+x4y≥2√y16x⋅x4y=14y16x+x4y≥2y16x⋅x4y=14 (2)
z16x+xz≥2√z16x⋅xz=12z16x+xz≥2z16x⋅xz=12 (3)
x4y+yz≥2√z4y⋅yz=1x4y+yz≥2z4y⋅yz=1 (4)
(1)(2)(3)(4) ⇒T≥116+14+1+14+12+1⇒T≥116+14+1+14+12+1
⇒T≥4916⇒T≥4916
dấu "=" xảy ra khi \hept⎧⎪ ⎪⎨⎪ ⎪⎩y16x=x4yz16x=xzz4y=yz⇔\hept⎧⎨⎩4y2=16x2z2=16x2z2=4y2\hept{y16x=x4yz16x=xzz4y=yz⇔\hept{4y2=16x2z2=16x2z2=4y2
⇔\hept⎧⎨⎩y=2xz=4xz=2y⇔\hept{y=2xz=4xz=2y có x+y+z = 1
=> x + 2x + 4x = 1
=> x = 1/7
xong tìm ra y = 2/7 và z = 4/7
30 tháng 12 2016
Ta có
\(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)^2\ge0\\\left(y+1\right)^2\ge0\\\left(z+1\right)^2\ge0\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}x^2+1>0\\y^2+1>0\\z^2+1>0\end{cases}}\)
\(\Rightarrow A=\frac{\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2}{z^2+1}+\frac{\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2}{x^2+1}+\frac{\left(z+1\right)^2\left(x+1\right)^2}{y^2+1}\ge0\)
Kết hợp với điều kiện ban đầu thì
GTNN của A là 0 đạt được khi
\(\left(x,y,z\right)=\left(-1,-1,5;-1,5,-1;5,-1-1\right)\)
TN
25 tháng 7 2017
bài này cần x,y,z>0 nữa, vừa xem xong bài y hệt của LCC :v
Dự đoán dấu "=" khi \(x=y=z=1\) thì \(P=24\)
Ta chứng minh P=24 là GTNN
Thật vậy áp dụng BĐT C-S ta có:
\(P=Σ\frac{\left(x+1\right)^2\left(y+1\right)^2\left(z+1\right)^2}{\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\ge\frac{\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2}{Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\)
Cần chứng minh: \(\frac{\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2}{Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2}\ge24\)
\(\Leftrightarrow\left(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(x+y\right)\right)^2\ge24Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y+z=3u\\xy+yz+xz=3v^2\\xyz=w^3\end{cases}}\) \(\Rightarrow u=1\) thì
\(Σ\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)=Σ\left(x^2y+x^2z+2x^2+2xy+2x\right)\)
\(=9uv^2-3w^3+2u\left(9u^2-6v^2\right)+9uv^2+6u^3=3\left(8u^3+uv^2-w^3\right)\)
Và \(Σ\left(z^2+1\right)\left(x+y\right)^2=2Σ\left(x^2y^2+x^2yz+x^2u+xyu^2\right)\)
\(=2\left(9v^4-6uw^3+3uw^3+9u^4-6u^2v^2+3u^2v^2\right)\)
\(=6\left(3u^4-u^2v^2+3v^4-uw^3\right)\). Can cm \(f\left(w^3\right)\ge0\)
\(f\left(w^3\right)=\left(8u^3+uv^2-w^3\right)^2-16\left(3u^6-u^4v^2+3u^2v^4-u^3w^3\right)\)
\(f'\left(w^3\right)=-2\left(8u^3+uv^2-w^3\right)+16u^3=2w^3-2uv^2\le0\)
Thay \(f\) la ham` ngh!ch bien, do đó, BĐT có 1 GTLN của w3 khi 2 biến bằng nhau
Đặt \(y=x;z=3-2x\), Khi đó:
\(BDT\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^4-2x^3-11x^2+24x+4\right)\ge0\)
8 tháng 5 2016
Ta có :
\(P=1-\frac{1}{x+1}+1-\frac{1}{y+1}+1-\frac{1}{z+1}=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\) (1)
Theo bất đẳng thức Cô-si ta có :
\(\left[\left(x+1\right)+\left(y+1\right)+\left(z+1\right)\right]\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge9\)
Vì \(x+y+z=1\) nên có
\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{9}{4}\)
Thế vào (1) ta có :
\(P\le\frac{3}{4}\) với mọi \(\left(x,y,z\right)\in D\)
Mặt khác lấy \(x=y=z=\frac{1}{3}\), khi đó \(\left(x,y,z\right)\in D\) ta có \(P=\frac{3}{4}\) vậy max \(P=\frac{3}{4}\)
Biến đổi:
\(P=y+\left(x-y\right)+\frac{1}{y\left(x-y\right)}\)
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương ta có:
\(P\ge3.\sqrt[3]{y\left(x-y\right)\frac{1}{y\left(x-y\right)}}=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)
Vậy \(MIN_P=3\) khi \(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)