Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 1! + 2! + 3! +.......+ x! = y2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2020
1.
\(5=3xy+x+y\ge3xy+2\sqrt{xy}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(3\sqrt{xy}+5\right)\le0\Rightarrow xy\le1\)
\(P=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)+\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+1\right)}-\sqrt{9-5xy}\)
\(P=\dfrac{\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)+\left(x+y\right)^2-2xy+x+y+2}{x^2y^2+\left(x+y\right)^2-2xy+1}-\sqrt{9-5xy}\)
Đặt \(xy=a\Rightarrow0< a\le1\)
\(P=\dfrac{\left(5-3a\right)^3-3a\left(5-3a\right)+\left(5-3a\right)^2-2a+5-3a+2}{a^2+\left(5-3a\right)^2-2a+1}-\sqrt{9-5a}\)
\(P=\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{2}.2\sqrt{9-5a}\)
\(P\ge\dfrac{-27a^3+153a^2-275a+157}{10a^2-32a+26}-\dfrac{1}{4}\left(4+9-5a\right)\)
\(P\ge\dfrac{-29a^3+161a^2-277a+145}{4\left(5a^2-16a+13\right)}=\dfrac{\left(1-a\right)\left(29a^2-132a+145\right)}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\)
\(P\ge\dfrac{\left(1-a\right)\left[29a^2+132\left(1-a\right)+13\right]}{4\left(5a^2-16a+13\right)}\ge0\)
\(P_{min}=0\) khi \(a=1\) hay \(x=y=1\)
Hai phân thức của P rất khó làm gọn bằng AM-GM hoặc Cauchy-Schwarz (nó hơi chặt)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
26 tháng 12 2020
2.
Đặt \(A=9^n+62\)
Do \(9^n⋮3\) với mọi \(n\in Z^+\) và 62 ko chia hết cho 3 nên \(A⋮̸3\)
Mặt khác tích của k số lẻ liên tiếp sẽ luôn chia hết cho 3 nếu \(k\ge3\)
\(\Rightarrow\) Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi \(k=2\)
Do tích của 2 số lẻ liên tiếp đều không chia hết cho 3, gọi 2 số đó lần lượt là \(6m-1\) và \(6m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(6m-1\right)\left(6m+1\right)=9^n+62\)
\(\Leftrightarrow36m^2=9^n+63\)
\(\Leftrightarrow4m^2=9^{n-1}+7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m\right)^2-\left(3^{n-1}\right)^2=7\)
\(\Leftrightarrow\left(2m-3^{n-1}\right)\left(2m+3^{n-1}\right)=7\)
Pt ước số cơ bản, bạn tự giải tiếp
TN
1
PT
1
CM
25 tháng 2 2017
Ta có (1) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = y 2 + y
Ta thấy: x 4 + x 2 < x 4 + x 2 + 20 ≤ x 4 + x 2 + 20 + 8 x 2 ⇔ x 2 ( x 2 + 1 ) < y ( y + 1 ) ≤ ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 )
Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau
+ TH1. y ( y + 1 ) = ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 2 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 3 x 2 + 2 ⇔ 2 x 2 = 18 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 3
Với x 2 = 9 ⇒ y 2 + y = 9 2 + 9 + 20 ⇔ y 2 + y − 110 = 0 ⇔ y = 10 ; y = − 11 ( t . m )
+ TH2 y ( y + 1 ) = ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 3 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 5 x 2 + 6 ⇔ 4 x 2 = 14 ⇔ x 2 = 7 2 ( l o ạ i )
+ TH3: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 4 ) ⇔ 6 x 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 3 ( l o ạ i )
+ TH4: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 ) ⇔ 8 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0
Với x 2 = 0 ta có y 2 + y = 20 ⇔ y 2 + y − 20 = 0 ⇔ y = − 5 ; y = 4
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :
(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).
TN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 1 2022
Lời giải:
$xy^2+2x-y^2=8$
$(xy^2-y^2)+(2x-2)=6$
$y^2(x-1)+2(x-1)=6$
$(y^2+2)(x-1)=6$
Vì $y^2+2\geq 0+2=2$ và $y^2+2, x-1$ là các số nguyên nên ta có bảng sau:
3 tháng 5 2019
a) \(6xy+4x-9y-7=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+2\right)-9y-6-1=0\)
\(\Leftrightarrow2x.\left(3y+x\right)-3.\left(3y+2\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-3\right).\left(3y+2\right)=1\)
Mà \(x,y\in Z\Rightarrow2x-3;3y+2\in Z\)
Tự làm típ
4 tháng 5 2019
\(A=x^3+y^3+xy\)
\(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+xy\)
\(A=x^2-xy+y^2+xy\)( vì \(x+y=1\))
\(A=x^2+y^2\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovxky ta có :
\(\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x\cdot1+y\cdot1\right)^2=\left(x+y\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge1\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\)
Hay \(x^3+y^3+xy\ge\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)
NM
3
XO
25 tháng 7 2023
\(x^2+y^2+2\left(x+y\right)-xy=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2-4xy+4y^2+8\left(x+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y\right)^2+4\left(2x-y\right)+4+3y^2+12y+12=-16\)
\(\Leftrightarrow\left(2x-y+2\right)^2+3\left(y+2\right)^2=-16\)
Dễ thấy VT \(\ge0\) ; VP < 0 nên phương trình vô nghiệm
24 tháng 7 2023
\(x^2+y^2-2\left(x+y\right)=xy\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+y^2-2y+1=2+xy\)
\(\Rightarrow\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2=2+xy\)
Ta lại có : \(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge2\left(x-1\right)\left(y-1\right)\) (Bất đẳng thức Cauchy)