Cho a>b>0 và ab=1. Tìm GTNN của:
M=(a^2+b^2)/(a-b)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 8 2021
\(C=\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ab}\right)+3\left(ab+\dfrac{1}{16ab}\right)+\dfrac{29}{16ab}\)
\(C\ge\dfrac{16}{a^2+b^2+2ab}+6\sqrt{\dfrac{ab}{16ab}}+\dfrac{29}{4\left(a+b\right)^2}\ge\dfrac{16}{1}+\dfrac{6}{4}+\dfrac{29}{4}=\dfrac{99}{4}\)
7 tháng 6 2021
a)Có \(a^2+1\ge2a\) với mọi a; \(b^2+1\ge2b\) với mọi b
Cộng vế với vế \(\Rightarrow a^2+b^2+2\ge2\left(a+b\right)\)
Dấu = xảy ra <=> a=b=1
b) Áp dụng BĐT bunhiacopxki có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\le2\)
\(\Leftrightarrow-\sqrt{2}\le x+y\le\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)_{max}=\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\left(x+y\right)_{min}=-\sqrt{2}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\sqrt{2}\\x=y\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
c) \(S=\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{a^2+b^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2}+\dfrac{1}{2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Với x,y>0, ta có: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge\dfrac{4}{x+y}\) (1)
Thật vậy (1) \(\Leftrightarrow\dfrac{y+x}{xy}\ge\dfrac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\) (lđ)
Áp dụng (1) vào S ta được:
\(S\ge\dfrac{4}{a^2+b^2+2ab}+\dfrac{1}{2ab}\)
Lại có: \(ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}\) \(\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}\Leftrightarrow2ab\le\dfrac{1}{2}\)\(\Rightarrow\dfrac{1}{2ab}\ge2\)
\(\Rightarrow S\ge\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+2=6\)
\(\Rightarrow S_{min}=6\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)
NT
2
6 tháng 5 2018
vì a;b>0\(\Rightarrow a+b>=2\sqrt{ab}\Rightarrow1>=2\sqrt{ab}\Rightarrow\frac{1}{2}>=\sqrt{ab}\Rightarrow\frac{1}{4}>=ab\)(bđt cosi)
dấu = xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)
\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2=1+\frac{2}{a}+\frac{1}{a^2}+1+\frac{2}{b}+\frac{1}{b^2}\)
\(=2+\left(\frac{2}{a}+\frac{2}{b}\right)+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)>=2+2\sqrt{\frac{2}{a}\cdot\frac{2}{b}}+2\cdot\sqrt{\frac{1}{a^2}\cdot\frac{1}{b^2}}\)(bđt cosi )
dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{a}=\frac{2}{b}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2};\frac{1}{a^2}=\frac{1}{b^2}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow\)dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
\(=2+\frac{4}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{\sqrt{a^2b^2}}=2+\frac{4}{\sqrt{ab}}+\frac{2}{ab}>=2+\frac{4}{\frac{1}{2}}+\frac{2}{\frac{1}{4}}=2+8+8=18\)
\(\Rightarrow M>=18\Rightarrow\)min M là 18
vậy min M là 18 khi a=b=\(\frac{1}{2}\)
15 tháng 1 2021
Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2=\frac{\left(1+\frac{1}{a}\right)^2}{1}+\frac{\left(1+\frac{1}{b}\right)^2}{1}\ge\frac{\left(1+\frac{1}{a}+1+\frac{1}{b}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}{2}\)(1)
Lại có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}=4\)(2)
Từ (1) và (2) => \(M=\left(1+\frac{1}{a}\right)^2+\left(1+\frac{1}{b}\right)^2\ge\frac{\left(2+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)^2}{2}\ge\frac{\left(2+4\right)^2}{2}=18\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = 1/2
Vậy MinM = 18, đạt được khi a = b = 1/2
DT
2
12 tháng 5 2017
Ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow1\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
Quay lại bài toán ta có:
\(K=\frac{1}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}=\frac{1}{2ab}+\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)
\(\ge\frac{1}{\frac{2}{4}}+\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=2+4=6\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{2}\)
TT
0
XO
3 tháng 2 2023
1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)
\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)
\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)
Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được
\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)
XO
3 tháng 2 2023
2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)
Dấu"=" khi a = 4b
nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)
Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)
Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được
\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)
\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)
Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)
nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)
khi đó a + b = 1
mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)
LT
0
PN
24 tháng 8 2020
Ta có : \(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{2ab}\)
Sử dụng BĐT Bunhiacopxki ta có :
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{2ab}=\frac{1^2}{a^2}+\frac{1^2}{b^2}+\frac{2^2}{2ab}\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a^2+b^2+2ab}\)
\(=\frac{4^2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{16}{2^2}=\frac{16}{4}=4\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)
Vậy \(A_{min}=4\)khi \(a=b=1\)
KN
24 tháng 8 2020
\(A=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{2}{ab}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{2ab}\)
\(\ge\frac{\left(1+1+2\right)^2}{a^2+2ab+b^2}=\frac{16}{\left(a+b\right)^2}=\frac{16}{4}=4\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = 1