Question

[trần quang nhật]

Tớ cần sự giúp đỡ!!!

Cho tam giác ABC, điểm D là trọng tâm của tam giác. Gọi E là giao điểm các đường phân giác của góc ABD và ACD. Chứng minh: Tam giác ABC cân khi và chỉ khi A,E,D thẳng hàng.

HELP ME!!! Tối mùng 2 tớ cần nộp luôn rồi!!!

Answer 1

[Lê Song Phương]

Chứng minh chiều thuận:

Giả sử có tam giác ABC cân tại A, đương nhiên trung tuyến và phân giác kẻ từ A của tam giác này trùng nhau. Mà trọng tâm D thuộc trung tuyến kẻ từ A, giao điểm các đường phân giác trong E thuộc phân giác trong kẻ từ A nên AD, AE trùng nhau, do đó A, D, E thẳng hàng.

Chứng minh chiều đảo:

Giả sử A, D, E thẳng hàng. Dễ thấy rằng khi đó AD, AE lần lượt là trung tuyến và phân giác trong của tam giác ABC. Mà A, D, E thẳng hàng \(\Rightarrow AD\equiv AE\), do đó tam giác ABC cân tại A (Dấu hiệu nhận biết)

Answer 2

[Lê Song Phương]

À không, xin lỗi bạn, bài đó mình làm lộn đề đó. Bài này mới đúng nhé:

thuận: (giả sử tam giác ABC cân tại A):

Khi đó \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\). Mà BD, CD là 2 trung tuyến kẻ từ B, C nên \(BD=CD\) \(\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\). Từ đó dễ thấy \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\), mà BE, CE là các phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\). Từ đây dễ thấy \(\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)  \(\Rightarrow EB=EC\). Do đó, E nằm trên đường trung trực của đoạn BC.

Mà AD chính là trung trực của BC (Do tam giác ABC cân tại A có AD là trung tuyến) \(\Rightarrow E\in AD\Rightarrowđpcm\)

đảo: (giả sử A,D,E thẳng hàng)

Ta thấy AD chính là trung trực của đoạn BC, mà A,D,E thẳng hàng nên E thuộc trung trực của BC \(\Rightarrow EB=EC\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{ECB}\)

Đồng thời \(\widehat{DBC}=\widehat{DCB}\) , từ đó \(\Rightarrow\widehat{DBE}=\widehat{DCE}\)

Mà BE, CE lần lượt là phân giác của \(\widehat{DBA},\widehat{DCA}\) nên \(\widehat{DBA}=\widehat{DCA}\). Bằng phép cộng góc, ta dễ dàng suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) \(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A.