Rút gọn: \(T=\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}\) với \(a,b,c>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 9 2019
1/ \(Q=\frac{\left(2-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}{\sqrt{a}+3}=2-\sqrt{a}\)
Do \(\sqrt{a}\ge0\Rightarrow2-\sqrt{a}\le2\Rightarrow Q_{max}=2\) khi \(a=0\)
2/
\(N=\sqrt{a+b+2\sqrt{\left(a+b\right)c}+c}+\sqrt{a+b-2\sqrt{\left(a+b\right)c}+c}\)
\(=\sqrt{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{c}\right)^2}+\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\right)^2\)
\(=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\left|\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\right|\)
TH1: Nếu \(a+b\ge c\Rightarrow\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\ge0\)
\(\Rightarrow Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\sqrt{a+b}-\sqrt{c}=2\sqrt{a+b}\)
TH2: Nếu \(a+b< c\Rightarrow\sqrt{a+b}-\sqrt{c}< 0\)
\(\Rightarrow Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}-\sqrt{a+b}=2\sqrt{c}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2019
Lời giải:
\(Q=\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ab+bc}}+\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}\)
\(=\sqrt{(a+c)+b+2\sqrt{b(a+c)}}+\sqrt{(a+b)+c+2\sqrt{c(a+b)}}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{a+c}+\sqrt{b})^2}+\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{c})^2}\)
\(=\sqrt{a+c}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}+\sqrt{c}\)
10 tháng 6 2016
Ta có : \(\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}+\sqrt{a+b+c-2\sqrt{ac+bc}}=\sqrt{a+b+2\sqrt{c}.\sqrt{a+b}+c}+\sqrt{a+b-2\sqrt{c}.\sqrt{a+b}+c}=\sqrt{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{c}\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\right)^2}\)\(=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\left|\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\right|=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\right)=2\sqrt{a+b}\)(vì a,b,c là độ dài ba cạnh của tam giác nên \(a+b>c>0\Rightarrow\sqrt{a+b}>\sqrt{c}\))
10 tháng 6 2016
2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
15 tháng 11 2017
ta có : \(P=\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\le\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> GTLN của P là 1 khi a=b=c
31 tháng 8 2017
Xét \(\sqrt{\dfrac{\left(a+bc\right)\left(b+ac\right)}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{\left(a\left(a+b+c\right)+bc\right)\left(b\left(a+b+c\right)+ac\right)}{c\left(a+b+c\right)+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+ab+ac+bc\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)}{ac+bc+c^2+ab}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\)\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2}=a+b\)
Tương tự cho 2 đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế
\(P=a+b+b+c+c+a=2\left(a+b+c\right)=2\)
N
13 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(A\le\dfrac{a+b}{2\sqrt{c+ab}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{a+bc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt{b+ac}}\)\(\le\dfrac{a+b}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt{2\sqrt{abc}}}\)\(=\dfrac{a+b+c}{\sqrt[4]{4abc}}=\dfrac{1}{\sqrt[4]{4abc}}\ge\dfrac{1}{\sqrt{\left(a+b+c\right).\dfrac{2}{3}}}\)(BĐT Cô-si)\(=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2}{3}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
Vậy Amin=\(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
HP
0
TN
17 tháng 8 2017
a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có
\(\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\frac{ab}{2}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(\frac{bc\sqrt{bc}}{b+c}\le\frac{bc}{2};\frac{ac\sqrt{ac}}{a+c}\le\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT=Σ\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab+bc+ca}{2}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
b)Áp dụng tiếp AM-GM:
\(b\sqrt{a-1}\le\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
\(a\sqrt{b-1}\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)
Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:
\(VT=b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab=VP\)
Khi \(a=b=1\)
\(t^2=a+b+c+2\sqrt{ac+bc}+a+b+c-2\sqrt{ac+bc}+2\sqrt{\left(a+b+c+2\sqrt{ac+bc}\right)\left(a+b+c-2\sqrt{ac+bc}\right)}\)
\(T^2=2a+2b+2c+2\sqrt{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-4ac-4bc}\)
\(T^2=2a+2b+2c+\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ac-2bc+2ab}\)
\(T^2=2a+2b+2c+\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)
\(T^2=2a+2b+2c+a+b-c\) ( vì a,b,c> 0 )
\(T^2=3a+3b+c\Leftrightarrow t=\sqrt{3a+3b+c}\)