\(\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ab+bc}}\) +
K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 5 2019

Lời giải:

\(Q=\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ab+bc}}+\sqrt{a+b+c+2\sqrt{ac+bc}}\)

\(=\sqrt{(a+c)+b+2\sqrt{b(a+c)}}+\sqrt{(a+b)+c+2\sqrt{c(a+b)}}\)

\(=\sqrt{(\sqrt{a+c}+\sqrt{b})^2}+\sqrt{(\sqrt{a+b}+\sqrt{c})^2}\)

\(=\sqrt{a+c}+\sqrt{b}+\sqrt{a+b}+\sqrt{c}\)

NV
21 tháng 9 2019

1/ \(Q=\frac{\left(2-\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}{\sqrt{a}+3}=2-\sqrt{a}\)

Do \(\sqrt{a}\ge0\Rightarrow2-\sqrt{a}\le2\Rightarrow Q_{max}=2\) khi \(a=0\)

2/

\(N=\sqrt{a+b+2\sqrt{\left(a+b\right)c}+c}+\sqrt{a+b-2\sqrt{\left(a+b\right)c}+c}\)

\(=\sqrt{\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{c}\right)^2}+\left(\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\right)^2\)

\(=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\left|\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\right|\)

TH1: Nếu \(a+b\ge c\Rightarrow\sqrt{a+b}-\sqrt{c}\ge0\)

\(\Rightarrow Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\sqrt{a+b}-\sqrt{c}=2\sqrt{a+b}\)

TH2: Nếu \(a+b< c\Rightarrow\sqrt{a+b}-\sqrt{c}< 0\)

\(\Rightarrow Q=\sqrt{a+b}+\sqrt{c}+\sqrt{c}-\sqrt{a+b}=2\sqrt{c}\)

22 tháng 6 2015

\(t^2=a+b+c+2\sqrt{ac+bc}+a+b+c-2\sqrt{ac+bc}+2\sqrt{\left(a+b+c+2\sqrt{ac+bc}\right)\left(a+b+c-2\sqrt{ac+bc}\right)}\)

\(T^2=2a+2b+2c+2\sqrt{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-4ac-4bc}\)

\(T^2=2a+2b+2c+\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ac-2bc+2ab}\)

\(T^2=2a+2b+2c+\sqrt{\left(a+b-c\right)^2}\)

\(T^2=2a+2b+2c+a+b-c\) ( vì a,b,c> 0 )

\(T^2=3a+3b+c\Leftrightarrow t=\sqrt{3a+3b+c}\)

 

17 tháng 8 2017

a)Áp dụng BĐT AM-GM ta có

\(\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab\sqrt{ab}}{2\sqrt{ab}}=\frac{ab}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:

\(\frac{bc\sqrt{bc}}{b+c}\le\frac{bc}{2};\frac{ac\sqrt{ac}}{a+c}\le\frac{ac}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT=Σ\frac{ab\sqrt{ab}}{a+b}\le\frac{ab+bc+ca}{2}=VP\)

Khi \(a=b=c\)

b)Áp dụng tiếp AM-GM:

\(b\sqrt{a-1}\le\frac{b\left(a-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)

\(a\sqrt{b-1}\le\frac{a\left(b-1+1\right)}{2}=\frac{ab}{2}\)

Cộng theo vế 2 BĐT trên ta có:

\(VT=b\sqrt{a-1}+a\sqrt{b-1}\le ab=VP\)

Khi \(a=b=1\)

9 tháng 4 2020

Bài 1 : 

Ta có : 

\(\sqrt{37-20\sqrt{3}}+\sqrt{37+20\sqrt{3}}=\sqrt{25-2.5.2\sqrt{3}+12}\)

\(+\sqrt{25+2.5.2\sqrt{3}+12}\)

\(=\sqrt{\left(5-2\sqrt{3}\right)^2}+\sqrt{\left(5+2\sqrt{3}\right)^2}\)

\(5-2\sqrt{3}+5+2\sqrt{3}\)

\(=5+5=10\)

9 tháng 4 2020

Bài 2 : 

Với x , y , z > 0 . Ta có : 

+ ) \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(1\right)\)

+ ) \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\left(2\right)\)

+ ) \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\ge1\left(3\right)\)

Xảy ra đăng thức ở : \(\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)\Leftrightarrow x=y=z\) . Ta có : 

\(P=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a+b+c\right)^2.\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}\)

\(=\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right).\frac{\left(a+b+c\right)}{abc}\)

Áp dụng các bất đẳng thức (1) , (2) , (3) ta được : 

\(P\ge\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\left(a^2+b^2+c^2\right).\frac{9}{ab+bc+ca}+2.9\)

\(=\left(\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}\right)+8.\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+18\)

\(\ge2+8+18=28\)

Dấu " = "  xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\\ab=bc=ca\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)

3 tháng 9 2017

Ta có :

\(\frac{a^2}{a+b}=\frac{a\left(a+b\right)-ab}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}\text{≥}a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)(1)

Tương tự : \(\hept{\begin{cases}\frac{b^2}{b+c}\text{≥}b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\left(2\right)\\\frac{c^2}{c+a}\text{≥}c-\frac{\sqrt{ac}}{2}\left(3\right)\end{cases}}\)

Cộng vế với vế của (1);(2)(;(3) lại ta được :

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\text{≥}a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ac}}{2}\)

\(\Leftrightarrow A\text{≥}\left(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\right)+\left(\frac{\sqrt{ab}}{2}+\frac{\sqrt{bc}}{2}+\frac{\sqrt{ac}}{2}\right)\)

Lại lại có : \(a+b+c\text{≥}\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\) (tự chứng minh)

\(\Rightarrow a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ab}\text{≥}0\)

Nên \(A\text{≥}\frac{1}{2}\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)=\frac{1}{2}\)có GTNN là 1/2

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

10 tháng 11 2017

Cái này không khó :v

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel, ta có:

\(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{a+c}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{a+b+c}{2}\)

Face khác ;v, theo AM-GM, ta có

\(\dfrac{a+b+c}{2}\ge\dfrac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\dfrac{6}{2}=3\)

Vậy ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=2

10 tháng 11 2017

tks :v