Question

[Sou-chan]

Cho 2023m^2+m = 2022n^2+n (vs m, n thuộc N). Chứng minh rằng 2023(m+n) + 1 là số chính phương.

Mọi người giúp tớ với. Bài này là bài của hsg lớp 9 năm 2018 của tỉnh nào đó nên chắc ko có trên mạng đâu.

Answer 1

[Xyz OLM]

Ta có 2023m² + m = 2022n² + n

<=> n² = 2023n² + n - 2023m² - m

<=> n² = 2023(n² - m²) + (n - m)  

<=> n² = (n - m)[2023(n + m)  + 1] (*)  

Đặt (n - m ; 2023(n + m) + 1) = d (\(d\inℕ^∗\))

=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\2023.\left(n+m\right)+1⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\\left(n-m\right).\left[2023.\left(n+m\right)+1\right]⋮d^2\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n^2⋮d^2\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n-m⋮d\\n⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n⋮d\\m⋮d\end{matrix}\right.\) (1) 

Lại có 2023(n + m) + 1 \(⋮d\) (2) 

Từ (1) và (2) => d = 1 

=> (n - m ; 2023(n + m) + 1) = 1 (3)

Từ (*) và (3) => 2023(n + m) + 1 là số chính phương