Giá trị nhỏ nhất của \(P=a+\frac{1}{a-1}\)với \(a\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
11 tháng 10 2016
Ta có
\(\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le\frac{1+y-1}{2y}=\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A\le1\)
Đạt được khi x = y = 2
10 tháng 10 2016
cái này mk chưa hok nên ko thể giải!!!!!!! mong bạn thông cảm ^^
547476576578587592375632252535653256205155916524235598354641545622
KT
6 tháng 8 2018
a) ĐK: \(a>0\)
\(A=\frac{a^2+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\frac{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}+1\right)\left(a-\sqrt{a}+1\right)}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}\left(2\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}}+1\)
\(=\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}+1\right)-\left(2\sqrt{a}+1\right)+1\)
\(=a+\sqrt{a}-2\sqrt{a}=a-\sqrt{a}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 2 2021
Để dễ nhìn, đặt \(\left(a;b;c;d\right)=\left(x^4;y^4;z^4;t^4\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x;y;z;t\ge1\\xyzt=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó: \(P=\dfrac{1}{1+x^4}+\dfrac{1}{1+y^4}+\dfrac{1}{1+z^4}+\dfrac{1}{1+t^4}\)
Áp dụng BĐT cơ bản: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\) với \(x;y\ge1\) ta được:
\(P\ge\dfrac{2}{1+\left(xy\right)^2}+\dfrac{2}{1+\left(zt\right)^2}\ge\dfrac{4}{1+xyzt}=\dfrac{4}{1+\sqrt[]{2}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=t\) hay \(a=b=c=d=...\)
Áp dụng BĐT Cauchy: \(P=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{\left(a-1\right).1}{a-1}}=2+1=3\)
dấu = xẩy ra \(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2=1\Leftrightarrow a=2\)
P/S: đề phải là: a>1 nhé!
bạn ơi câu này mình lấy trên violympic toán nên chắc đề k sai đâu.