CMR \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)với\(a+b\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
2
LB
2
5 tháng 9 2020
Cách khác:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)\left[b\left(1+a^2\right)-a\left(1+b^2\right)\right]}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\) (luôn đúng).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 9 2020
\(\Leftrightarrow\left(2+a^2+b^2\right)\left(1+ab\right)\ge2\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow2+2ab+a^2+b^2+ab\left(a^2+b^2\right)\ge2+2a^2+2b^2+2a^2b^2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi \(a\ge1;b\ge1\))
24 tháng 4 2020
Ta có : a + b \(\ge1\)<=> a2 + 2ab + b2 \(\ge\)1 ( 1)
Mặt khác : ( a-b )2 \(\ge0\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\left(2\right)\)
Từ ( 1) và ( 2 ) => 2.( a2+ b2 ) \(\ge1\Leftrightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)
NG
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
11 tháng 2 2020
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow\frac{2+a^2+b^2}{\left(1+a^2+b^2+a^2b^2\right)}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(2+a^2+b^2\right)\ge2a^2b^2+2a^2+2b^2+2\)
\(\Leftrightarrow ab\left(a^2+b^2-2ab\right)-\left(a^2+b^2-2ab\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2\ge0\)
b/ \(\frac{1}{1+a^4}+\frac{1}{1+b^4}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{2}{1+a^2b^2}+\frac{2}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^4}+\frac{3}{1+b^4}\ge\frac{4}{1+ab^3}\)
Hoàn toàn tương tự: \(\frac{1}{1+b^4}+\frac{3}{1+c^4}\ge\frac{4}{1+bc^3}\); \(\frac{1}{1+c^4}+\frac{3}{1+a^4}\ge\frac{4}{1+a^3c}\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
J
1
TB
1
26 tháng 9 2018
Bạn cần biết \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) (nếu bạn chưa biết thì xét hiệu)
Ta có: \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\)
\(\ge\frac{4}{1+a^2+1+b^2}\)
\(=\frac{4}{a^2+b^2+2}\)
\(\ge\frac{4}{2ab+2}=\frac{2}{ab+1}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b\)
Q
2
10 tháng 12 2016
Chứng minh bằng biến đổi tương đương :
\(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+a^2}-\frac{1}{1+ab}\right)+\left(\frac{1}{1+b^2}-\frac{1}{1+ab}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a\left(b-a\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+ab\right)}+\frac{b\left(a-b\right)}{\left(1+b^2\right)\left(1+ab\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)\left(\frac{b}{1+b^2}-\frac{a}{1+a^2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{1+ab}.\frac{\left(a-b\right)\left(ab-1\right)}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(ab-1\right)}{\left(ab+1\right)\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge0\)
Vì \(a\ge1,b\ge1\) nên \(ab-1\ge0\) . Mặt khác vì \(\left(a-b\right)^2\ge0\) nên ta có điều phải chứng minh.