Cho hình bình hành ABCD qua D kẻ đường thẳng D bất kì cắt AC, AB, BC lần lượt tại M,N,K. Chứng minh:
a, DM2=MN.MK
b, 1/DN+1/DK=1/DM
c, CK.AN không phụ thuộc vị trí của đường thẳng D
Giúp mình bài này với mình đang cần gấp
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì ABCD là hình bình hành (gt) => - AB // CD (t/c) => \(\widehat{AND}=\widehat{CDK}\left(\widehat{ANM}=\widehat{CDM}\right)\) (so le trong)
- AD // BC (t/c) => \(\widehat{ADN}=\widehat{DKC}\) (so le trong)
Xét \(\Delta DAN\) và \(\Delta KCD\) có: \(\widehat{AND}=\widehat{CDK}\), \(\widehat{ADN}=\widehat{DKC}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta DAN~\Delta KCD\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{DN}{DK}=\frac{AN}{CD}\) (tỉ lệ) (1)
Xét \(\Delta MNA\) và \(\Delta MDC\) có: \(\widehat{ANM}=\widehat{CDM}\) (cmt), \(\widehat{AMN}=\widehat{DMC}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta MNA~\Delta MDC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{MN}{DM}=\frac{AN}{CD}\) (tỉ lệ) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{DN}{DK}=\frac{MN}{DM}\)
\(\Rightarrow DK\cdot MN=DN\cdot DM\)
\(\Rightarrow DK\left(DN-DM\right)=DN\cdot DM\)
\(\Rightarrow DK\cdot DN-DK\cdot DM=DN\cdot DM\)
\(\Rightarrow DK\cdot DN=DK\cdot DM+DN\cdot DM\)
\(\Rightarrow DK\cdot DN=DM\left(DK+DN\right)\)
\(\Rightarrow\frac{DK\cdot DN}{DK+DN}=DM\)
\(\Rightarrow\frac{DK+DN}{DK\cdot DN}=\frac{1}{DM}\)
\(\Rightarrow\frac{DK}{DK\cdot DN}+\frac{DN}{DK\cdot DN}=\frac{1}{DM}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{DN}+\frac{1}{DK}=\frac{1}{DM}\) (đpcm)
b) Vì \(\Delta DAN~\Delta KCD\) (cm câu a) \(\Rightarrow\frac{AD}{CK}=\frac{AN}{CD}\) (tỉ lệ)
\(\Rightarrow CK\cdot AN=AD\cdot CD\)
Vì AD và CD cố định nên \(AD\cdot CD\) không đổi với mọi vị trí đường thẳng d
\(\Rightarrow CK\cdot AN\) không đổi (không phụ thuộc vào vì trí đường thẳng d) (đpcm)
câu a
xét tam giác MDC có
NA//DC (AB//DC)
\(\Rightarrow\frac{MN}{MD}=\frac{MA}{MC}\)( hệ quả Thales) (1)
xét tam giác MKC có
DA//CK (DA//BC)
\(\Rightarrow\frac{MD}{MK}=\frac{MA}{MC}\)( hệ quả Thales) (2)
từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{MD}{MK}=\frac{MN}{MD}\)
\(\Rightarrow MD^2=MN.MK\)
câu b mình chưa giải đc nhé