cho a, b, c có tổng bằng 1. chứng minh rằng 1/a+1/b+1/c>=9
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 3 2018
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dưới dạng phân số ta có
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\)
<=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\) (vì a+b+c=1) (đpcm)
28 tháng 3 2018
Cách khác dùng AM-GM
Áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{a}\cdot\dfrac{1}{b}\cdot\dfrac{1}{c}}=3\cdot\dfrac{1}{\sqrt[3]{abc}}\)
Tiếp tục áp dụng bđt AM-GM cho 3 số không âm ta được:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot\dfrac{3}{\sqrt[3]{abc}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)(đpcm)
NT
0
13 tháng 10 2016
Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)
Theo đề bài ta có
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)
\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)
HP
25 tháng 1 2017
1/a+1/b+1/c >= 9
<=>(1/a+1/b+1/c)(a+b+c) >= 9(a+b+c)=9 (do a+b+c=1)
<=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c)
áp dụng bđt côsi cho các số dương a/b,b/a,b/c,c/b,c/a,a/c
a/b+b/a >= 2.căn a/b . b/a =2
Tương tự b/c+c/b >= 2,c/a+a/c >= 2
=>3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(c/a+a/c) >= 3+2+2+2=9
=>đpcm
PM
cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 1
chứng minh rằng : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)
2
29 tháng 1 2023
Mình bổ sung một cách làm khác nhé.
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(a,b,c\), ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) \(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(\dfrac{1}{a},\dfrac{1}{b},\dfrac{1}{c}\) ta có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\) (2)
Nhân theo vế của các BĐT (1) và (2), ta được \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\) (đpcm)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
29 tháng 1 2023
\(Ta\) có : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
\(=\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\)
\(=1+\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{b}+1+\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}+1\)
\(=\left(1+1+1\right)+\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)+\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)+\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\)
\(Ta\) có : \(\left(\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}\right)\ge2\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{ab}-2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\)
\(cmt\) \(tương\) \(tự\) \(với\) : \(\left(\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{c}\right)\) \(và\) \(\left(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c}\right)\) \(đều\) \(\ge2\) \(như\) \(\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\right)\ge2\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b+c}{a}+\dfrac{a+b+c}{b}+\dfrac{a+b+c}{c}\ge9\) \(hay\) \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge9\)
NH
1
22 tháng 2 2018
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm 1-a và 1-c có:
4(1-a)(1-c) =<(1-a+1-c)^2=(1+b)^2
Ta có: 4(1-a)(1-b)(1-c)=<(1+b)^2(1-b)=(1-b^2)(1+b)=<1+b=a+2b+c(đpcm)
Dấu = xảy ra khi b=0;a=c=1/2
BM
2
31 tháng 3 2020
Từ : \(a+b+c=1\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\\\frac{1}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\\\frac{1}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)
\(\ge3+2+2+2=9\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
31 tháng 3 2020
Bổ sung a,b,c dương vào đê
Cách 1:
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)
Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1/3
Cách 2:
Áp dụng BĐT Cô si ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)
Mà \(a+b+c=1\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
Cách 3:
Xét:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)
\(\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}\)
\(=3+2+2+2\)
\(=9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) vì a+b+c=1
NV
2
22 tháng 1 2017
Theo bất đẳng thức Cô-sy ta được:
\(a+b+c\ge3^3\sqrt{abc}\)(1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^3\sqrt{\frac{1}{abc}}\)(2)
Nhân (1) (2) vế heo vế ta được
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)
30 tháng 3 2018
biến đổi cách này dễ hiểu hơn nề:))
vì a+b+c=1 nên
\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a+b+c}{a}\)= 1+ \(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)
\(\frac{1}{b}\)=\(\frac{a+b+c}{b}\)= 1+ \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{c}{b}\)
\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{a+b+c}{c}\)= 1+ \(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)
ta có \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 1+1+1+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))
ta lại có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)2 \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)2ab \(\Leftrightarrow\)(a-b)^2\(\ge\)0 luôn đúng
tương tự ta có a/c+c/a >= 2 và b/c+c/b >= 2
vậy 1/a+1/b+1/c>=9
17 tháng 2 2019
\(\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)
\(\frac{1}{b}=\frac{a+b+c}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)
\(\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
18 tháng 2 2019
Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si) cho hai số dương,ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
ai giải giúp mình với
a+b+c=1 => 1+b/a+c/a=1/a
Tuơng tự 1+a/b+c/b=1/b , 1+b/c+a/c=1/c
Cộng theo vế các đẳng thức trêm,ta được :
1/a+1/b+1/c=3+(a/b+b/a)+(b/c+c/b)+(a/c+c/a)
-hình như đề thiếu dữ kiện a,b,c dương rồi-,xem lại đề