Cho \(\Delta\)ABC phân giác AD. Trên đoạn AD lấy E,D sao cho \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\). Chứng minh \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
6 tháng 2 2019
Lấy I,K,H sao cho AB là đường trung trực IE, BC là đường trung trực FK và AC là đường trung trực của EH.
\(\Delta CHF\) và \(\Delta CEK\)
IF = EK
HC = EC ;
KC = FC
=> \(\Delta CHF=\Delta CEK\left(ccc\right)\) (ccc)
=> \(\widehat{HCF}=\widehat{KCE}\)
=> \(\widehat{HCE}=\widehat{KCF}\)
mà \(\widehat{HCA}=\widehat{ECA}\);\(\widehat{KCB}=\widehat{FCB}\)
=> \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)
9 tháng 4 2020
*Bài này có nhiều cách làm, mỗi cách có 1 mình khác nhau. OLM đang lỗi nên không vẽ được hình. Bạn thông cảm*
- Giả sử E nằm giữa A và F
- Cách 1: Kéo dài BE cắt đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)AEC tại I
Ta có: \(\widehat{EIC}=\widehat{EAC}\) nên \(\Delta\)ABF~\(\Delta\)IBC
\(\Rightarrow\frac{BF}{BA}=\frac{BC}{BI}\) hay \(\frac{BF}{BC}=\frac{BA}{BI}\)
Lại có \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\) nên \(\Delta\)ABI~\(\Delta\)FBC
Vậy \(\widehat{ACE}=\widehat{EIA}=\widehat{ACE}\)
- Cách 2: Gọi I, H lần lượt là điểm đối xứng của E qua AB và AC. K là điểm đối xứng F qua BC
Ta có \(\Delta AIH\) cân, AD là đường phân giác nên AD là đường trung trực đoạn IH
=> FI=FH (1)
\(\Delta FBI=\Delta KBE\left(cgc\right)\) nên FI=KE(2)
Từ (1) (2) => KE=FH
\(\Delta CEK=\Delta CHF\left(ccc\right)\)
=> \(\widehat{HCF}=\widehat{ECK}\) hay \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)
- Cách 3: Đặt \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}=\alpha;\widehat{ACE}=\beta;\widehat{BCF}=\gamma\)
Ta có: \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CE\cdot\sin\beta}{\frac{1}{2}\cdot DC\cdot CF\cdot\sin\gamma}\left(3\right)\)
Mà \(\frac{S_{ACE}}{S_{DCF}}=\frac{S_{ABE}}{S_{DBF}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot BE\cdot\sin\alpha}{\frac{1}{2}BD\cdot BF\cdot\sin\alpha}\left(4\right)\)
Từ (3) (4) => \(\frac{AC}{CD}\cdot\frac{CE}{CF}=\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=\frac{AB}{BD}\cdot\frac{BE}{BF}\)
Mặt khác \(\frac{AC}{CD}=\frac{AB}{BD};\frac{CE}{CF}=\frac{BE}{BF}\left(E;F\in AD\right)\)
Vậy \(\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}=1\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\left(\beta+\gamma=180^o\right)\)
- Trường hợp F nằm giữa A và E, có \(\widehat{ABF}=\widehat{CBE}\), cũng làm tương tự
18 tháng 3 2023
a: AB<AC
=>góc B>góc C
góc ADB=góc DAC+góc ACD
góc ADC=góc BAD+góc B
mà góc C<góc B và góc DAC=góc DAB
nên góc ADB<góc ADC
b: Xét ΔAEB có
AD vừa là đường cao, vừa là phân giác
=>ΔAEB can tại A
c: AD là phân giác
=>BD/AB=CD/AC
mà AB<AC
nên BD<CD
17 tháng 12 2021
a) Nối A và D lại, ta đc: ΔABD & ΔADC
Ta có: D là trung điểm BC => BD=DC
Xét ΔABD & ΔADC có:
AB=AC(gt) ; BD=DC ; AD=AD
=> ΔADB = ΔADC
TM
17 tháng 12 2021
1a. Xét △ABD và △ACD có:
\(AB=BC\left(gt\right)\)
\(\hat{BAD}=\hat{CAD}\left(gt\right)\)
\(AD\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\)
b/ Từ a suy ra \(BD=CD\) (hai cạnh tương ứng).
2a. Xét △ABD và △EBD có:
\(AB=BE\left(gt\right)\)
\(\hat{ABD}=\hat{EBD}\left(gt\right)\)
\(BD\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABD=\Delta EBD\left(c.g.c\right)\)
b/ Từ a suy ra \(\hat{DEB}=90^o\) (góc tương ứng với góc A).
c/ Xét △ABI và △EBI có:
\(AB=BE\left(gt\right)\)
\(\hat{ABI}=\hat{EBI}\left(do\text{ }\hat{ABD}=\hat{EBD}\right)\)
\(BI\) chung
\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta EBI\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\hat{AIB}=\hat{EIB}=\dfrac{180^o}{2}=90^o\)
Vậy: \(BD\perp AE\)
Lần lượt vẽ H, K đối xứng với E, F qua AC, BC.
+) AC là đường trung trực của đoạn thẳng EH nên \(\widehat{HCE}=2\widehat{ACE}\)(*)
+) BC là đường trung trực của đoạn thẳng FK nên \(\widehat{FCK}=2\widehat{BCF}\)(**)
A thuộc đường trung trực của IE và EH nên AI = AE = AH
Suy ra tam giác AIH cân tại A mà AD là phân giác của góc A nên AD là trung trực của IH, do đó FI = FH (1)
Xét \(\Delta FBI\)và \(\Delta KBE\)có:
BF = BK (B thuộc đường trung trực của FK)
\(\widehat{IBF}=\widehat{EBK}\)(do \(\widehat{ABE}=\widehat{CBF}\Rightarrow\widehat{IBE}=\widehat{KBF}\Rightarrow\widehat{IBF}=\widehat{EBK}\))
BI = BE (B thuộc đường trung trực của IE)
Do đó \(\Delta FBI\)\(=\Delta KBE\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow EK=FI\)(hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra EK = FH
Xét \(\Delta KCE\)và \(\Delta FCH\)có:
EC = HC (C thuộc đường trung trực của EH)
KE = FH (cmt)
CK = CF (C thuộc đường trung trực của FK)
Do đó \(\Delta KCE\)\(=\Delta FCH\left(c-c-c\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{ECK}=\widehat{HCF}\)(hai góc tương ứng)
\(\Rightarrow\widehat{ECH}=\widehat{KCF}\)(***)
Từ (*), (**), (***) suy ra \(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\left(đpcm\right)\)