Question

[Nguyễn Hải Đăng]

\(\sqrt[3]{x+6}+\sqrt[]{x-1}=x^2-1\)

Answer 1

[Lê Song Phương]

Ta dễ dàng nhẩm được nghiệm \(x=2\). Ta sẽ dựa vào đây để giải phương trình.

Điều kiện: \(x\ge1\), dẫn đến \(x\ge\sqrt{\sqrt[3]{7}+1}\approx1,07673114...\)

Khi \(x=2\) thì \(\sqrt[3]{x+6}=2;\sqrt{x-1}=1;x^2=4\), do đó ta sẽ viết lại pt đã cho thành:

\(\left(\sqrt[3]{x+6}-2\right)+\left(\sqrt{x-1}-1\right)-\left(x^2-4\right)=0\) (*)

Mặt khác, do \(x\ge\sqrt{\sqrt[3]{7}+1}>0\) nên \(\sqrt[3]{x+6}-2=\dfrac{\left(\sqrt[3]{x+6}-2\right)\left[\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2+2\sqrt[3]{x+6}+4\right]}{\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}\) \(=\dfrac{\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^3-8}{\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}=\dfrac{x-2}{\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}\)

và \(\sqrt{x-1}-1=\dfrac{\left(\sqrt{x-1}\right)^2-1}{\sqrt{x-1}+1}=\dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}\)

và \(x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)\)

Vì vậy, ta có thể viết pt (*) như sau:

\(\dfrac{x-2}{\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}+\dfrac{x-2}{\sqrt{x-1}+1}+\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}+x+2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\) (nhận) hoặc \(\dfrac{1}{\left(\sqrt[3]{x+6}\right)^2+2\sqrt[3]{x+6}+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+1}+x+2=0\) (vô lí do \(x\ge\sqrt{\sqrt[3]{7}+1}\)

Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất \(x=2\)