1. Chứng minh với mọi a, b dương thì: a) (a b)^2 \(\le\) 2(a^2 b^2) b) a^3 b^3 \(

TQ

trần quang nhật

7 tháng 10 2022 - olm

1. Chứng minh với mọi a, b dương thì: a) (a+b)^2 \(\le\) 2(a^2 + b^2) b) a^3 + b^3 \(_{\ge}\)ab(a + b) ; (a + b)^3 \(\le\) 4 (a^3 + b^3) 2. Với mọi số a, b dương, chứng minh: a. (a + b)^4 \(\le\) 8(a^4 + b^4) b. (a + b)^5 \(\le\) 16(a^5 + b^5) c. (a + b) \(^{n + 1}\) \(\le\) 2\(^{ }\)^n (a\(^{n+1}\)+ b\(^{n+1}\) 3. Cho x, y dương thỏa mãn: x^5 + y^5= 2. Tìm giá trị lớn nhất của: P =...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

TQ

trần quang nhật

8 tháng 10 2022

Ai giúp em với ạ.

Đúng(0)

K

khoimzx

23 tháng 2 2020

a)chứng minh rằng: \(a^2-ab+b^2\ge\frac{1}{3}\left(a^2+ab+b^2\right)\) với mọi giá trị của a,b

b) cho các số dương a,b,c >0 cmr \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

24 tháng 2 2020

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow3a^2-3ab+3b^2\ge a^2+ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

b/ \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{ab\left(a+b\right)}{3\sqrt[3]{a^2.ab.b^2}}=a-\frac{a+b}{3}=\frac{2a}{3}-\frac{b}{3}\)

Tương tự: \(\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}\ge\frac{2b}{3}-\frac{c}{3}\) ; \(\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{2c}{3}-\frac{a}{3}\)

Cộng vế với vế ta có đpcm

Đúng(0)

NU

Naruto Uzumaki

17 tháng 4 2019

Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a^2+b^2+c^2+(a+b+c)^2\(\le\) 4.

Chứng minh rằng: ab+1/(a+b)^2+bc+1/(b+c)^2+ca+1/(c+a)^2 \(\ge\) 3

#Toán lớp 8

0

TL

Tư Linh

1 tháng 1 2022

Chứng minh rằng;

1) \(a^5+b^5\ge ab\left(a^3+b^3\right)\) 2)\(a^{n+2}+b^{n+2}\ge ab\left(a^n+b^n\right)\)

mọi người ơi, giúp mình với, mình cần trước t2 mình cản ơn!

#Toán lớp 8

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

1 tháng 1 2022

1: \(\Leftrightarrow a^5-a^4b+b^5-ab^4>=0\)

\(\Leftrightarrow a^4\left(a-b\right)-b^4\left(a-b\right)>=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\cdot\left(a+b\right)\cdot\left(a^2+b^2\right)>=0\)(luôn đúng khi a,b dương)

Đúng(1)

TL

Tư Linh

2 tháng 1 2022

cảm ơn cậu nhiều nhé

Đúng(0)

QN

Quoc Nam

13 tháng 2 2018

với a,b,c ≥ 0 và a+b+c=3. chứng minh rằng:

(1) a/a+2bc+b/b+2ac+c/c+2ab ≥1 (2)a/2a+bc+b/2b+ac+c/2c+ab ≤ 1

#Toán lớp 10

0

NN

no no

10 tháng 4 2019

a)Chứng tỏ rằng: \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\) với mọi giá trị dương của a,b,x,y

b) Chứng tỏ rằng: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\) với a,b,c dương

#Toán lớp 8

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

10 tháng 4 2019

a/

Biến đổi tương đương:

\(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(a^2y+b^2x\right)\ge xy\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2xy+b^2x^2+a^2y^2+b^2xy\ge a^2xy+b^2xy+2abxy\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2-2abxy+b^2x^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT ban đầu đúng (đpcm), dấu "=" xảy ra khi \(ay=bx\)

b/

Mở rộng cho 3 số, ta có \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{x+y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)

Vậy \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\) với x, y, z dương

Mặt khác ta luôn có: \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\) \(\forall a,b,c\)

\(\Rightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+a^2-2ac+c^2\ge0\)

\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+ac+bc\right)\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)

Áp dụng:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}=\frac{\left(a^2\right)^2}{ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{bc}+\frac{\left(c^2\right)^2}{ac}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{ab+ac+bc}\ge\frac{\left(ab+ac+bc\right)^2}{ab+ac+bc}=ab+ac+bc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

Đúng(0)

D

๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG

23 tháng 4 2020

Chứng minh các bất đẳng thức sau bằng cách biến đổi tương đương:

a) Cho 1\(\le t\le\) 2. CMR: \(\frac{t^2}{2.t^2+3}+\frac{2}{1+t}\ge\frac{34}{33}\)

b) Chứng minh với mọi số duong a, b ta luôn có \(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}+\frac{2}{3}\ge\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\)

#Toán lớp 8

1

DH

Diệu Huyền

24 tháng 4 2020

Định đi ngủ mà chợt nhớ lúc chiều có hứa là làm giúp chủ tus nên h phải làm =)))

Violympic toán 8

Đúng(0)

AZ

Agatsuma Zenitsu

23 tháng 4 2020

Ý em là câu b ý, câu a em chịu :v

Đúng(0)

QN

Qynh Nqa

4 tháng 4 2020

Bài 1: Cho a,b,c∈ R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) \(ab\le\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\le\frac{a^2+b^2}{2}\) b) \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\) ; với a,b ≥ 0 c) a4+b4 ≥ a3b + ab3 d) a4+3 ≥ 4a e) a3+b3+c3 ≥ 3abc ; với a,b,c > 0 f) \(a^4+b^4\le\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}\) ; với a,b ≠ 0 g) \(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\ge\frac{2}{1+ab}\) ; với ab ≥ 1 h) (a5+b5)(a+b) ≥ (a4+b4)(a2+b2) ; với ab >...

Đọc tiếp

#Toán lớp 8

1

TQ

Trần Quốc Khanh

4 tháng 4 2020

a/CM: \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\ge ab\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)

CM: \(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a^2+b^2\right)}{4}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\) ( luôn đúng)

b/CM: \(\frac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\frac{4\left(a^3+b^3\right)}{8}\ge\frac{\left(a+b\right)^3}{8}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3\right)\ge3a^2b+3ab^2\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( luôn đúng với mọi a,b>0)

c/CM: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2+ab\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+\frac{2ab}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3b^2}{4}\right)\ge0\) ( luôn đúng)

d/Ta xét hiệu: \(a^4-4a+3\)

\(=a^4-2a^2+1+2a^2-4a+2\)

\(=\left(a-1\right)^2+2\left(a-1\right)^2\ge0\)

Suy ra BĐT luôn đúng

e/Ta xét hiệu:( Làm nhanh)

\(a^3+b^3+c^3-3abc\)\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)\left(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right)\ge0\)

f/Ta có: \(\frac{a^6}{b^2}-a^4+\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^6}{a^2}-b^4+\frac{a^2b^2}{4}\)

\(=\left(\frac{a^3}{b}-\frac{ab}{2}\right)^2+\left(\frac{b^3}{a}-\frac{ab}{2}\right)^2\ge0\)(1)

Mà \(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{a^2b^2}{4}\ge0\)(2)

Lấy (1) trừ (2) được: \(\frac{a^6}{b^2}+\frac{b^6}{a^2}-a^4-b^4\ge0\RightarrowĐPCM\)

g/Làm rồi..xem lại trong trang cá nhân

h/Xét hiệu có: \(\left(a^5+b^5\right)\left(a+b\right)-\left(a^4+b^4\right)\left(a^2+b^2\right)\)

\(=a^5b+ab^5-a^2b^4-a^4b^2\)

\(=a^4b\left(a-b\right)-ab^4\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a^2-b^2\right)\left(a-b\right)\)

\(=ab\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\forall ab>0\)

Suy ra ĐPCM

Đúng(0)

LH

Lan Hương Phùng

14 tháng 4 2019

Chứng minh với mọi a, b ta có:

a) a² + b²+ 1 ≥ ab + a + b

b) a⁴+ b⁴≥ a³b + ab³

#Toán lớp 8

1

MS

Mashiro Shiina

14 tháng 4 2019

a)\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2-2ab\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2\ge0\) (đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b=1\)

b) \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-a^3b-ab^3\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng)

\("="\Leftrightarrow a=b\)

Đúng(0)

S

Sida

11 tháng 9 2016

Chứng minh rằng với mọi a,b,c dương thì :

\(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{2}{3}\)

#Toán lớp 9

1

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

11 tháng 9 2016

Ta có : \(\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\ge\frac{2}{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(a+b+c+d\right)^2\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)+6\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge8\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)-2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(a^2-2ad+d^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(b^2-2bd+d^2\right)+\left(c^2-2cd+d^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy bđt ban đầu được chứng minh

Đúng(0)

LN

Lực Nguyễn hữu

26 tháng 6 2016 - olm

1/ Cho mọi số nguyên dương .Chứng minh\(\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}<1\)2/ Chứng minh bất dẳng thức sau với các số a, b, c dương.\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}\)3/ Chứng minha) \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{a+b+c}{2}\) (với a, b, c...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

KR

kagamine rin len

26 tháng 6 2016

3a) ta có \(\frac{a^2}{a+b}=a-\frac{ab}{a+b}>=a-\frac{ab}{2\sqrt{ab}}=a-\frac{\sqrt{ab}}{2}\)

vì \(a,b>0,a+b>=2\sqrt{ab}nên\frac{ab}{a+b}< =\frac{ab}{2\sqrt{ab}}\)

tương tự \(\frac{b^2}{b+c}=b-\frac{bc}{b+c}>=b-\frac{bc}{2\sqrt{bc}}=b-\frac{\sqrt{bc}}{2}\)

tương tự \(\frac{c^2}{c+a}=c-\frac{ca}{c+a}>=c-\frac{ca}{2\sqrt{ca}}=c-\frac{\sqrt{ca}}{2}\)

cộng từng vế BĐT ta được \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=a+b+c-\frac{\sqrt{ab}}{2}-\frac{\sqrt{bc}}{2}-\frac{\sqrt{ca}}{2}=\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}\left(1\right)\)

giả sử \(\frac{2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}}{2}>=\frac{a+b+c}{2}\)

<=> \(2a+2b+2c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=a+b+c\)

<=> \(a+b+c-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}-\sqrt{ca}>=0\)

<=> \(2a+2b+2c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}-2\sqrt{ca}>=0\)

<=> \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2+\left(\sqrt{a}-\sqrt{c}\right)^2>=0\)

(đúng với mọi a,b,c >0) (2)

(1),(2)=> \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}>=\frac{a+b+c}{2}\left(đpcm\right)\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP