Chứng minh rằng nếu a<b và a,c>0 thì a/b<a+c/b+c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 11 2021
\(4,VT=-a+b+c-a+b-c+a-b-c=-a+b-c=-\left(a-b+c\right)=VP\\ 5,M=-a+b-b-c+a+c-a=-a\\ M>0\Rightarrow-a>0\Rightarrow a< 0\)
PT
1
CM
8 tháng 9 2019
Ta có: a b < a + c b + c
⇔ a(b + c) < (a + c)b
(vì a > 0, b > 0 và c > 0 ⇔ b + c > 0 và a + c > 0)
⇔ ab + ac < ab + bc
⇔ ac < bc ⇔ a < b (luôn đúng, theo gt)
HT
0
G
0
Y
0
AH
3
6 tháng 3 2019
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}-1+\frac{a+b+c}{c+a}-1+\frac{a+b+c}{a+b}-1\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)
Áp dụng bđt Co-si cho 3 số
\(\hept{\begin{cases}\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\ge3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\\\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\end{cases}}\)
Nhân 2 vế vào sẽ đc dpcm
Dấu "=" khi a = b = c
T
7 tháng 3 2019
Anh Incursion:Em có cách khác!Anh check giúp ạ.
Chuẩn hóa a + b + c = 3.Thì BĐT trở thành:
\(\frac{a}{3-a}+\frac{b}{3-b}+\frac{c}{3-c}\ge\frac{3}{2}\)
Ta sẽ c/m: \(\frac{a}{3-a}\ge\frac{3}{4}\left(a-1\right)+\frac{1}{2}\).
Thật vậy,xét hiệu hai vế: \(VT-VP=\frac{3\left(a-1\right)^2}{4\left(3-a\right)}\).Do a + b + c = 3 và a,b,c > 0 hiển nhiên ta có: a< 3 tức là 3 - a > 0
Suy ra \(VT-VP=\frac{3\left(a-1\right)^2}{4\left(3-a\right)}\ge0\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c