Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Lấy C là điểm bất kỳ trên đường tròn,C khác A. Gọi E là điểm đối xứng của A qua C. Chứng minh rằng khi C di chuyển thì E chạy trên 1 đường tròn cố định
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 7 2019
Gọi BE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là N. Gọi L là hình chiếu của I trên ME.
Dễ thấy ^BNA = 900. Suy ra \(\Delta\)BNA ~ \(\Delta\)BCE (g.g) => BN.BE = BC.BA
Cũng dễ có \(\Delta\)BMA ~ \(\Delta\)BCK (g.g) => BC.BA = BM.BK. Do đó BN.BE = BM.BK
Suy ra tứ giác KENM nội tiếp. Từ đây ta có biến đổi góc: ^KNA = 3600 - ^ANM - ^KNM
= (1800 - ^ANM) + (1800 - ^KNM) = ^ABM + (1800 - ^AEM) = ^EFM + ^MEF = ^KFA
=> 4 điểm A,K,N,F cùng thuộc một đường tròn. Nói cách khác, đường tròn (I) cắt (O) tại N khác A
=> OI vuông góc AN. Mà AN cũng vuông góc BE nên BE // OI (1)
Mặt khác dễ có E là trung điểm dây KF của (I) => IE vuông góc KF => IE // AB (2)
Từ (1);(2) suy ra BOIE là hình bình hành => IE = OB = const
Ta lại có EM,AB cố định => Góc hợp bởi EM và AB không đổi. Vì IE // AB nên ^IEL không đổi
=> Sin^IEL = const hay \(\frac{IL}{IE}=const\). Mà IE không đổi (cmt) nên IL cũng không đổi
Vậy I di động trên đường thẳng cố định song song với ME, cách ME một khoảng không đổi (đpcm).
Xét đường tròn (O) có AB là đường kính nên \(\widehat{ACB}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay \(BC\perp AE\) tại C hay BC là đường cao của tam giác ABE. Lại có C là trung điểm AB nên BC là trung tuyến của tam giác ABE. Từ đó tam giác ABE cân tại B hay \(BE=BA\). Do BA cố định nên BE không đổi. Mà B cố định nên khi C thay đổi thì E sẽ di chuyển trên đường tròn tâm B, bán kính BA cố định.