Bài 1: Trong 1 lớp học dành cho những cháu học sinh yêu Toán mà Thầy Hiếu tổ chức, các bạn học sinh đều rất ngoan và lịch sự. Bạn đến sau đều lần lượt bắt tay với tất cả các bạn đến trước. (không có 2 bạn nào đến cùng lúc). Thầy Hiếu quan sát và thấy có tất cả 78 cái bắt tay. Hỏi lớp học của Thầy Hiếu có bao nhiêu người?
Bài 2: Có n người tham gia một cuộc họp. Mỗi người đều bắt tay với những người còn lại. Hãy tính xem có bao nhiêu người tham dự cuộc họp đó biết rằng tổng số lần bắt tay là một số có 3 chữ số giống nhau.
Bài 3: Trong một cuộc họp có a người tham gia. Mỗi người đều bắt tay với tất cả những người còn lại trừ bạn A, A chỉ bắt tay với một số người trong những người còn lại. Người ta đếm thấy có tất cả 115 cái bắt tay. Hỏi có bao nhiêu người tham dự cuộc họp và A bắt tay với bao nhiêu người?
Bài 4: Có 8 đội bóng tham dự 1 giải bóng đá. Mỗi đội đều phải đấu với các đội còn lại 1 trận. Hỏi có tất cả bao nhiêu trận đấu?
Bài 5: Có 34 đội bóng đá thi đấu với nhau. Cách chia bảng bất kỳ, có thể có đặt cách cho những đội lẻ ra. Mỗi trận đấu, đội thắng được 2 điểm, hòa được 1 điểm và thua được 0 điểm. Hỏi tổng số điểm tất cả các trận đấu có thể bằng 173 điểm được hay không?
Bài 6: Có 8 đội bóng đá chia làm hai bảng, mỗi bảng 4 đội sẽ thi đấu vòng tròn chọn ra hai đội có thành tích tốt nhất để vào vòng bán kết. Hai đội thắng trong hai trận bán kết sẽ được vào thi đấu trận chung kết. Đội thắng được 3 điểm, hòa được 1 điểm, thua được 0 điểm. Điểm vẫn được tính cho các trận đấu bán kết, chung kết. Hỏi sau giải đấu, tổng điểm của tất cả các đội có thể là 46 điểm hay không?
Bài 7: Vòng chung kết bóng đá tiểu học 2014, có 5 đội tuyển của 5 trường tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn 1 lượt. Đội thắng được 2 điểm, thua 0 điểm và nếu trận đấu có kết quả hòa thì mỗi đội được 1 điểm. Sau khi thi đấu người ta thấy tổng điểm của 5 đội là 21. Tính số điểm đội vô địch?
Bài 8: Một giải cờ vua có 8 người tham dự. Mỗi người thi đấu 1 ván với từng người còn lại. Mỗi trận thắng được 1 điểm, hòa được 0,5 điểm, thua không được điểm. Kết thúc giải, mỗi người có 1 điểm số khác nhau và điểm của người xếp thứ 2 bằng tổng điểm của 4 người xếp cuối cùng. Hỏi ván đấu của người thứ tư và thứ 5 có kết quả ra sao?
Ta có số trận đấu của giải đấu là: 5 x 4 : 2 = 10 trận
Ta thấy nếu tất cả các trận đều không hòa thì tổng số điểm là 10 x 3 = 30, nhưng do đề bài tổng số điểm của tất cả các đội chỉ là 21 => chắc chắn có 1 số trận kết thúc với kết quả hòa.
Ta nhận thấy: Một trận đấu kết thúc với kết quả thắng – thua sẽ đem lại tổng điểm cho hai đội tham gia là: 3 + 0 = 3 điểm. Còn 1 trận đấu kết thúc với kết quả hòa sẽ đem lại cho hai đội tham gia: 1 + 1 = 2 điểm.
Như vậy nếu thay 1 trận thắng bởi 1 trận hòa thì số điểm giảm đi là: 3 – 2 = 1 điểm
Để giảm từ 30 điểm xuống 21 điểm thì số trận hòa là: (30 - 21) : 1 = 9 (trận)
=> Còn lại số trận thắng – thua là: 10 – 9 = 1 (trận)
Vậy nếu tổng số điểm của các đội tham gia là 21 điểm thì giải đấu có 9 trận hòa và chỉ có 1 trận thắng – thua => Đội vô địch phải là đội thắng trận đấu đó.
Mỗi đội đều đấu: 5 – 1 = 4 trận => Đội vô địch thắng 1 và hòa 4 – 1= 3 trận
=> Số điểm của đội vô địch là: 1 x 3 + 3 x 1 = 6 điểm.