Tìm Min của :
A = \(\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}\) . Với \(1>x>0\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 8 2021
1: Ta có: \(A=\dfrac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\dfrac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-\left(x-9\right)+\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-4\sqrt{x}+\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\)
Để \(A=-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) thì \(x+\sqrt{x}=-\sqrt{x}+3\)
\(\Leftrightarrow x+2\sqrt{x}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\left(nhận\right)\)
2: Để A nguyên thì \(\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}-3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-3\in\left\{-1;1;2;-2;4;-4\right\}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{2;4;5;1;7\right\}\)
\(\Leftrightarrow x\in\left\{16;25;1;49\right\}\)
17 tháng 4 2022
1. 1/x + 2/1-x = (1/x - 1) + (2/1-x - 2) + 3
= 1-x/x + (2-2(1-x))/1-x + 3
= 1-x/x + 2x/1-x + 3 >= 2√2 + 3
Dấu "=" xảy ra khi x =√2 - 1
17 tháng 4 2022
2. a = √z-1, b = √x-2, c = √y-3 (a,b,c >=0)
=> P = √z-1 / z + √x-2 / x + √y-3 / y
= a/a^2+1 + b/b^2+2 + c/c^2+3
a^2+1 >= 2a => a/a^2+1 <= 1/2
b^2+2 >= 2√2 b => b/b^2+2 <= 1/2√2
c^2+3 >= 2√3 c => c/c^2+3 <= 1/2√3
=> P <= 1/2 + 1/2√2 + 1/2√3
Dấu = xảy ra khi a^2 = 1, b^2 = 2, c^2 =3
<=> z-1 = 1, x-2 = 2, y-3 = 3
<=> x=4, y=6, z=2
PN
2
AH
Akai Haruma
Giáo viên
15 tháng 5 2022
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
$\frac{1}{x+1}+\frac{x+1}{4}\geq 1$
$\frac{1}{y+1}+\frac{y+1}{4}\geq 1$
$\frac{1}{1+z}+\frac{1+z}{4}\geq 1$
Cộng theo vế:
$A+\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3$
$\Rightarrow A\geq 3-\frac{x+y+z+3}{4}\geq 3-\frac{3+3}{4}=\frac{3}{2}$
Vậy $A_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $x=y=z=1$
15 tháng 5 2022
Dự đoán điểm rơi \(x=y=z=1\)
Khi đó \(\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}\) và \(1+x=1+1=2\)
Ta cần ghép Cô-si \(\dfrac{1}{1+x}\) với \(k\left(1+x\right)\) sao cho đảm bảo đấu "=" xảy ra khi \(x=1\)
Đồng thời khi Cô-si 2 số dương trên thì dấu "=" xảy ra khi \(\dfrac{1}{1+x}=k\left(1+x\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}=k.2\Leftrightarrow k=\dfrac{1}{4}\)
Như vậy, áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(\dfrac{1}{1+x}\) và \(\dfrac{1+x}{4}\), ta có \(\dfrac{1}{1+x}+\dfrac{1+x}{4}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{1+x}.\dfrac{1+x}{4}}=1\)
Tương tự, ta có \(\dfrac{1}{1+y}+\dfrac{1+y}{4}\ge1\) và \(\dfrac{1}{1+z}+\dfrac{1+z}{4}\ge1\)
Cộng vế theo vế của các BĐT vừa tìm được, ta có \(A+\dfrac{x+y+z+3}{4}\ge3\)\(\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\)
Lại có \(x+y+z\le3\) nên \(A\ge3-\dfrac{x+y+z+3}{4}\Leftrightarrow A\ge3-\dfrac{3+3}{4}=\dfrac{3}{2}\)
Vậy GTNN của A là \(\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\)
BC
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 3 2021
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
$P=(a+1)+\frac{2}{a+1}+2\geq 2\sqrt{(a+1).\frac{2}{a+1}}+2=2\sqrt{2}+2$
Vậy $P_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị này đạt tại $(a+1)^2=2; a>0\Leftrightarrow a=\sqrt{2}-1$
------------------------
Bổ sung ĐK: $a>1$
$X=\frac{a^2-1+2}{a-1}=a+1+\frac{2}{a-1}$
$=(a-1)+\frac{2}{a-1}+2$
$\geq 2\sqrt{2}+2$ (AM-GM)
Vậy $X_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị đạt tại $(a-1)^2=\sqrt{2}; a>1\Leftrightarrow a=\sqrt{2}+1$
23 tháng 1 2021
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 1 2021
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
24 tháng 6 2021
a) đk: x\(\ge0\);
P = \(\left[\dfrac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right].\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)
= \(\dfrac{x+2-x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}\)
= \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\dfrac{4\sqrt{x}}{3}=\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)
b) Để P = \(\dfrac{8}{9}\)
<=> \(\dfrac{4\sqrt{x}}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=\dfrac{8}{9}\)
<=> \(\dfrac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\dfrac{2}{3}\)
<=> \(\dfrac{3\sqrt{x}-2x+2\sqrt{x}-2}{3\left(x-\sqrt{x}+1\right)}=0\)
<=> \(-2x+5\sqrt{x}-2=0\)
<=> \(\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)=0\)
<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=4\left(tm\right)\\x=\dfrac{1}{4}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
c)
Đặt \(\sqrt{x}=a\) (\(a\ge0\))
P = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}\)
Xét P + \(\dfrac{4}{9}\) = \(\dfrac{4a}{3a^2-3a+3}+\dfrac{4}{9}=\dfrac{12a+4a^2-4a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4a^2+8a+4}{9\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{4\left(a+1\right)^2}{9\left(a^2-a+1\right)}\ge0\)
Dấu "=" <=> a = -1 (loại)
=> Không tìm được Min của P
Xét P - \(\dfrac{4}{3}\) = \(\dfrac{4a}{3\left(a^2-a+1\right)}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{4a-4a^2+4a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4a^2+8a-4}{3\left(a^2-a+1\right)}=\dfrac{-4\left(a-1\right)^2}{3\left(a^2-a+1\right)}\le0\)
<=> \(P\le\dfrac{4}{3}\)
Dấu "=" <=> a = 1 <=> x = 1 (tm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
17 tháng 11 2021
Lời giải:
a. \(B=\frac{3(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}-\frac{\sqrt{x}+5}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{3(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}+5)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{2(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{2}{\sqrt{x}+1}\)
b.
\(P=2AB+\sqrt{x}=2.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}=\frac{4}{\sqrt{x}+2}+\sqrt{x}\)
Áp dụng BĐT Cô-si:
$P=\frac{4}{\sqrt{x}+2}+(\sqrt{x}+2)-2\geq 2\sqrt{4}-2=2$
Vậy $P_{\min}=2$ khi $\sqrt{x}+2=2\Leftrightarrow x=0$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 9 2023
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$A\geq \frac{9}{x+2+y+2+z+2}=\frac{9}{x+y+z+6}$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)\geq (x+y+z)^2$
$\Rightarrow 9\geq (x+y+z)^2\Rightarrow x+y+z\leq 3$
$\Rightarrow A\geq \frac{9}{x+y+z+6}\geq \frac{9}{3+6}=1$
Vậy $A_{\min}=1$. Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$
Với 0 < x < 1 ; ta có : \(A=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}\ge\dfrac{\left(\sqrt{3}+2\right)^2}{1-x+x}=\left(\sqrt{3}+2\right)^2\)
" = " \(\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{1-x}=\dfrac{2}{x}\) \(\Leftrightarrow x=\dfrac{2}{\sqrt{3}+2}=4-2\sqrt{3}\) (t/m)
- Với \(0< x< 1\), ta có:
\(A=\dfrac{3}{1-x}+\dfrac{4}{x}\)
\(=\dfrac{3+3x-3x}{1-x}+\dfrac{4-4x+4x}{x}\)
\(=\dfrac{3\left(1-x\right)+3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)+4x}{x}\)
\(=3+\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}+4\)
\(=7+\left[\dfrac{3x}{1-x}+\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}\right]\)
\(\ge7+2\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}.\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}\)
\(=7+4\sqrt{3}\)
- Dấu "=" xảy ra khi \(\sqrt{\dfrac{3x}{1-x}}=\sqrt{\dfrac{4\left(1-x\right)}{x}}\Leftrightarrow x=4-2\sqrt{3}\left(tm\right)\)
- Vậy \(MinA=7+4\sqrt{3}\), đạt tại \(x=4-2\sqrt{3}\).