Question

[✎﹏ミ★꧁༺вєѕт↭ℓαυяιєℓ↭νи༻꧂★ミ.༻(Trưở...]

cm bổ đề sau:

\(\left\{{}\begin{matrix}x,y>0\\x^n+y^n\ge xy.\left(x^{n-2}+y^{n-2}\right)\left(n\in N,n>2\right)\end{matrix}\right.\)

Answer 1

[Trần Tuấn Hoàng]

\(x,y>0;n\in N,n>2\).

- Áp dụng bất đẳng thức Caushy ta có:

\(x^n+x^n+...+x^n+y^n\) (có \(\left(n-1\right)\) \(x^n\)) \(\ge n\sqrt[n]{x^{n\left(n-1\right)}.y^n}=n.x^{n-1}.y\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)x^n+y^n\ge n.x^{n-1}.y^n\left(1\right)\) 

- Tương tự: \(\left(n-1\right)y^n+x^n\ge n.y^{n-1}.x\left(2\right)\)

- Từ (1), (2) suy ra:

\(n\left(x^n+y^n\right)\ge n.xy\left(x^{n-2}+y^{n-2}\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^n+y^n\right)\ge xy\left(x^{n-2}+y^{n-2}\right)\left(đpcm\right)\)

- Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^n=y^n;x,y>0\Leftrightarrow x=y\)

Answer 2

[Akai Haruma]

Cách khác:
$x^n+y^n\geq xy(x^{n-2}+y^{n-2})$

$\Leftrightarrow x^n+y^n-x^{n-1}y-xy^{n-1}\geq 0$

$\Leftrightarrow (x^n-x^{n-1}y)+(y^n-xy^{n-1})\geq 0$

$\Leftrightarrow x^{n-1}(x-y)-y^{n-1}(x-y)\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1})\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x-y)(x^{n-2}+x^{n-3}y+...+y^{n-2})\geq 0$

$\Leftrightarrow (x-y)^2(x^{n-2}+x^{n-3}y+...+y^{n-2})\geq 0$

(luôn đúng với mọi $x,y>0$ và $n\in\mathbb{N}>2$)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$