Cho tứ giác ABCD có P và Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng 2PQ <= AB+CD
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TB
Cho tứ giác ABCD có P và Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng: 2PQ \(\le\)AB + CD.
0
CM
4 tháng 6 2019
Ta có:
Do đó:
Mặt khác:
Nên
Vì 
Từ (3) và (4) ta suy ra
là đẳng thức cần chứng minh.
TB
0
NT
1
24 tháng 9 2022
Gọi M là trung điểm của AC
Xét ΔADC có AP/AD=AM/AC
nên PM/DC=AP/AD=1/2
Xét ΔCAB có CM/CA=CQ/CB
nên MQ/AB=CQ/CB=1/2
PQ<=PM+MQ
=>PQ<=(AB+CD)/2
=>2PQ<=AB+CD
- Qua C dựng đường thẳng song song với AB cắt AQ tại E.
- \(\Delta ABQ\) và \(\Delta ECQ\) có:
\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ABQ}=\widehat{ECQ}\\BQ=CQ\\\widehat{AQB}=\widehat{EQC}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ABQ=\Delta ECQ\left(g-c-g\right)\)
\(\Rightarrow AB=CE;QA=QE\Rightarrow\)Q là trung điểm AE.
- \(\Delta ADE\) có: P là trung điểm AD, Q là trung điểm AE.
\(\Rightarrow\)PQ là đường trung bình của \(\Delta ADE\).
\(\Rightarrow PQ=\dfrac{DE}{2}\).
- Mà theo BĐT tam giác ta có: \(DE\le CD+CE\)
\(\Rightarrow PQ=\dfrac{CD+CE}{2}=\dfrac{AB+CD}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
- Dấu "=" xảy ra khi D,C,E thẳng hàng \(\Leftrightarrow\)AB//CD \(\Leftrightarrow\)ABCD là hình thang.