chứng minh với mọi m,n,p,q ta đều có:
m2+n2+p2+q2+1\(\ge\)m(n+p+q+1)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CC
1
27 tháng 3 2018
Với mọi m;n;p;q dương nhé bạn!
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 2 số dương:
\(\dfrac{m^2}{4}+n^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2n^2}{4}}=mn\)
\(\)\(\dfrac{m^2}{4}+p^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2p^2}{4}}=mp\)
\(\dfrac{m^2}{4}+q^2\ge2\sqrt{\dfrac{m^2q^2}{4}}=mq\)
\(\dfrac{m^2}{4}+1\ge2\sqrt{\dfrac{m^2}{4}}=m\)
Cộng theo vế: \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)
NH
2
2 tháng 5 2017
Ta có:
m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m
\(=\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\)
\(=\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\)
mà \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2\ge0;\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
=> \(\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1-mn+mp+mq+m \(\ge0\)
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) mn+mp+mq+m
<=> m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1)
Vậy m2+n2+p2+q2+1\(\ge\) m(n+p+q+1) với mọi m, n, p, q
3 tháng 5 2017
Giải:
Ta có:
\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2\) \(+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\) \(\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) (Đpcm)
NM
2
DD
Đoàn Đức Hà
Giáo viên
15 tháng 3 2021
\(m^2+n^2+\frac{1}{4}\ge2mn+m-n\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\frac{1}{4}-2mn-m+n\ge0\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2-2mn-2.\frac{1}{2}m+2.\frac{1}{2}n\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(n-m+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Biểu thức cuối luôn đúng mà ta biến đổi tương đương nên ta có đpcm.
15 tháng 3 2021
m2 + n2 + 1/4 ≥ 2mn + m - n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 ≥ 8mn + 4m - 4n
<=> 4m2 + 4n2 + 1 - 8mn + 4m - 4n ≥ 0
<=> ( 2m - 2n + 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy ta có đpcm
26 tháng 3 2017
Giải:
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\dfrac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{m}{2}-n\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-p\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-q\right)^2+\left(\dfrac{m}{2}-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m}{2}-n=0\\\dfrac{m}{2}-p=0\\\dfrac{m}{2}-q=0\\\dfrac{m}{2}-1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=\dfrac{m}{2}\\p=\dfrac{m}{2}\\q=\dfrac{m}{2}\\m=2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=2\\n=p=q=1\end{matrix}\right.\)
TH
2
PN
13 tháng 2 2016
Chú ý (không ghi): bạn dụng dấu ngoặc nhọn cho hệ phương trình ở cuối bài
Ta có:
\(m^2+n^2+p^2+q^2+1\ge m\left(n+p+q+1\right)\) \(\left(1\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{m^2}{4}-mn+n^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mp+p^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-mq+q^2\right)+\left(\frac{m^2}{4}-m+1\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\frac{m}{2}-n\right)^2+\left(\frac{m}{2}-p\right)^2+\left(\frac{m}{2}-q\right)^2+\left(\frac{m}{2}-1\right)^2\ge0\) \(\left(2\right)\)
Bất đẳng thức \(\left(2\right)\) luôn đúng, mà các phép biến đổi trên tương đương nên bất đẳng thức \(\left(1\right)\) được chứng minh.
Dấu \(''=''\) xảy ra khi
\(\frac{m}{2}-n=0\) \(n=\frac{m}{2}\)
\(\frac{m}{2}-p=0\) \(p=\frac{m}{2}\) \(m=2\)
\(\Leftrightarrow\) \(\Leftrightarrow\)
\(\frac{m}{2}-q=0\) \(q=\frac{m}{2}\) \(n=p=q=1\)
\(\frac{m}{2}-1=0\) \(m=2\)
DD
1
16 tháng 12 2019
...\(\Leftrightarrow\frac{x+y+2}{\left(x+1\right)\left(y+1\right)}\ge\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\) \(\Leftrightarrow\left(x+y+2\right)\left(1+\sqrt{xy}\right)\ge2\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(\Leftrightarrow x\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+2\sqrt{xy}+x+y+2\ge2xy+2x+2y+2\)\
\(\Leftrightarrow\sqrt{xy}\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)-\left(x-2\sqrt{xy}+y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{xy}-1\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng \(\forall xy\ge1\) mà các phép biến đổi trên là tương đương nên bđt đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 9 2020
- Với \(n=0\) thỏa mãn
- Giả sử BĐT đúng với \(n=k\) hay \(2^k\ge k+1\)
Ta cần chứng minh nó cũng đúng với \(n=k+1\) hay \(2^{k+1}\ge k+2\)
Thật vậy, ta có: \(2^{k+1}=2.2^k\ge2\left(k+1\right)=2k+2\ge k+2\) với mọi k tự nhiên (đpcm)
tách m^2 thành m^2/4
T thay mặt bạn Tuấn giúp bạn Tuấn làm bài tập của bạn Tuấn nhé :)
Ta có
\(\frac{m^2}{4}+n^2\ge mn\)
\(\frac{m^2}{4}+p^2\ge mp\)
\(\frac{m^2}{4}+q^2\ge mq\)
\(\frac{m^2}{4}+1\ge m\)
Cộng vế theo vế được
m2 + n2 + p2 + q2 + 1 \(\ge\)m(n + p + q + 1)