Question

[Cô Tuyết Ngọc]

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao BE. Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ điểm E đến các đường thẳng AB và BC .

1. Chứng minh tứ giác BHEK là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh BH.BA = BK.BC.

3. Gọi F là chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng AB và I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/ H và K cùng nhìn BE dưới 1 góc vuông nên H và K cùng nằm trên đường tròn đường kính BE

=> BHEK là tứ giác nội tiếp

b/

Xét tg vuông ABE có

\(BE^2=BH.BA\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông CBE có

\(BE^2=BK.BC\) (Lý do như trên)

\(\Rightarrow BH.BA=BK.BC\) (đpcm)

c/

Gọi M là giao của BE và CF

Nối H với K cắt EF tại I' và cắt CF tại N

Ta có E và F cùng nhìn BC dưới 1 góc vuông nên E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC

=> BCEF là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{EFC}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

Ta có

\(EH\perp AB;CF\perp AB\) => EH//CF \(\Rightarrow\widehat{EFC}=\widehat{HEF}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{EBC}=\widehat{HEF}\)

Xét tg vuông HEF và tg vuông EBC có

\(\widehat{EBC}=\widehat{HEF}\) (cmt) \(\Rightarrow\widehat{ECB}=\widehat{HFE}\) 

Xét tg vuông MEC có

\(\widehat{ECF}=\widehat{MEN}\) (cùng phụ với \(\widehat{EMC}\) )

Ta có \(\widehat{FEB}=\widehat{FCB}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung FB)

\(\Rightarrow\widehat{FEB}+\widehat{MEN}=\widehat{FCB}+\widehat{ECF}\Rightarrow\widehat{FEN}=\widehat{ECB}\)

Mà \(\widehat{ECB}=\widehat{HFE}\) (cmt)

\(\Rightarrow\widehat{FEN}=\widehat{HFE}\) => HF//EN (hai đường thẳng bị cắt bởi 1 đường thẳng tạo thành hai góc so le trong bằng nhau thì chúng // với nhau)

Mà HE//CF (cmt)

=> HENF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi 1 là hbh)

=> I'E = I'F (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> I' là trung điểm của EF mà I cũng là trung điểm của EF => I trùng I'

=> H; I; K thẳng hàng

Answer 2

[Đoàn Đức Hà]

1) \(\widehat{BHE}=\widehat{BKE}=90^o\) nên \(H,K\) cùng nhìn \(BE\) dưới một góc vuông suy ra \(BHEK\) nội tiếp. 

2) Xét tam giác \(BEA\) vuông tại \(E\) đường cao \(EH\): 

\(BH.BA=BE^2\) (hệ thức trong tam giác vuông) 

Tương tự khi xét tam giác \(BEC\) vuông tại \(E\) đường cao \(EK\) cũng có \(BK.BC=BE^2\) suy ra \(BH.BA=BK.BC\).

3) Gọi \(I'\) là giao điểm của \(HK\) và \(EF\). Ta sẽ chứng minh \(I'\) là trung điểm của \(EF\).

\(BFEC\) nội tiếp nên \(\widehat{EFC}=\widehat{EBC}\)

\(BHEK\) nội tiếp nên \(\widehat{EBK}=\widehat{EHK}\)

\(EH//CF\) nên \(\widehat{HEF}=\widehat{EFC}\)

suy ra \(\widehat{EHK}=\widehat{HEF}\) suy ra tam giác \(I'HE\) cân tại \(I'\) suy ra \(I'H=I'E\).

Từ \(\widehat{EHK}=\widehat{HEF}\) ta cũng suy ra \(\widehat{I'HF}=\widehat{I'FH}\) suy ra tam giác \(I'FH\) cân tại \(I'\) nên \(I'H=I'F\) suy ra \(I'F=I'E\) nên \(I'\) là trung điểm của \(EF\).

Suy ra \(I\) và \(I'\) trùng nhau. 

Suy ra đpcm.