Chứng minh: a/(b+c+d) + b/(c+d+a) + c/(d+a+b) + d/(a+b+c) >= 4/3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
1
6 tháng 10 2015
Ta có :
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\) (1)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a}{d}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
NQ
2
5 tháng 3 2019
\(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}-\frac{a-d}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}+\frac{d-a}{a+b}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a-b}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b-c}{c+d}+1\right)+\left(\frac{c-d}{a+d}+1\right)+\left(\frac{d-a}{a+b}+1\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\ge4\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{c+d}+\frac{1}{a+b}\right)\ge4\)(1)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a+c}{b+c}+\frac{b+d}{c+d}+\frac{c+a}{a+d}+\frac{d+b}{a+b}\ge\)\(\left(a+c\right)\frac{2}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+d\right)}}+\left(b+d\right)\frac{2}{\sqrt{\left(c+d\right)\left(a+b\right)}}\ge\frac{4\left(a+c\right)}{a+b+c+d}+\frac{4\left(b+d\right)}{a+b+c+d}=\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=4 \left(2\right)\)Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{a+d}\ge\frac{a-d}{a+b}\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}=\frac{1}{a+d}\\\frac{1}{c+d}=\frac{1}{a+b}\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}b+c=a+d\\c+d=a+b\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=d\)
8 tháng 3 2019
vì sao
(a+c)(2/căn bậc 2 của(b+c)(a+d))+(b+d)(2/căn bậc 2 của (c+d)(a+b))
>=(4(a+c)/a+b+c+d) +4(b+d)/a+b+c+d
(căn bậc 2 máy mink ko viết đc)
PA
10 tháng 10 2016
\(\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(b+c\right)^2=\left(a-d\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d\right)^2-\left(a-d\right)^2=\left(b+c\right)^2-\left(b-c\right)^2\)
\(\left(a+d-a+d\right)\left(a+d+a-d\right)=\left(b+c-b+c\right)\left(b+c+b-c\right)\)
\(2d\times2a=2b\times2c\)
\(ad=bc\)
\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\left(\text{đ}pcm\right)\)
NH
1
9 tháng 7 2016
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Rightarrow ad< bc\)
Có:
- \(\frac{ab+ad}{b\left(b+d\right)}< \frac{ab+bc}{b\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a\left(b+d\right)}{b\left(b+d\right)}< \frac{b\left(a+c\right)}{b\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\left(1\right)\)
- \(\frac{ad+cd}{d\left(b+d\right)}< \frac{bc+cd}{d\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{d\left(a+c\right)}{d\left(b+d\right)}< \frac{c\left(b+d\right)}{d\left(b+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
AM
17 tháng 6 2015
Do a,b,c,d>0
Ta có:\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{a+b+c+d}+\frac{d}{a+b+c+d}
DT
\(a,b,c,d>0\). Chứng minh \(1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
1
11 tháng 2 2017
\(1< A=\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)
(*) C/m A>2
Trước hết ta có với x>y>0 và m>0
luôn có \(\frac{y}{x}< \frac{y+p}{x+p}\) (1)
c/m: \(\Leftrightarrow xy+ym< xy+xm\Leftrightarrow m\left(x-y\right)>0\) luôn đúng => (1) được c/m.
áp (1) vào từng số hạng của A ta có
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}\\ \)
\(\frac{a+d}{a+b+c+d}+\frac{b+a}{a+b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c+d}+\frac{c+d}{d+a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)=>(*) dpc/m
(**)C/m A>1: ta có với x>0 và m>0=> \(x>\frac{x}{x+m}\\ \) (2)
Áp (2) vào tầng số hạng của A ta có
\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}>\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}\\ \)
\(\frac{a}{a+b+c+d}+\frac{b}{a+b+c+d}+\frac{c}{b+c+d+a}+\frac{d}{d+a+b+c}=\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\) => (**)dpcm
Từ (*) và (**) =>\(1< A< 2\)=> dpcm