chứng minh rằng: 3^105+4^105 chia hết cho 13 nhưng ko chia hết cho 11
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NM
Chứng minh: a,222^333+333^222 chia hết cho 13
b, 3^105+4^105 chai hết cho 13 nhưng ko chia hết cho 11
1
T
18 tháng 1 2021
a)
Ta có: \(222^{333}=\left(222^3\right)^{111}\equiv1^{111}=1\left(mod13\right)\)
\(\Rightarrow222^{333}+333^{222}\equiv1+333^{222}=1+\left(333^2\right)^{111}\)
\(\equiv1+12^{111}\equiv1+12^{110}\cdot12\equiv1+\left(12^2\right)^{55}\cdot12\)
\(\equiv1+1\cdot12\equiv13\equiv0\left(mod13\right)\)
Vậy $222^{333}+333^{222}$ chia hết cho $13.$
b) Ta có:
\(3^{105}\equiv\left(3^3\right)^{35}\equiv1^{35}\equiv1\) (mod13)
\(\Rightarrow3^{105}+4^{105}\equiv1+4^{105}\equiv1+\left(4^3\right)^{35}\)
\(\equiv1+12^{35}\equiv1+\left(12^2\right)^{17}\cdot12\equiv1+1\cdot12\equiv13\equiv0\left(mod13\right)\)
Vậy $3^{105}+4^{105}$ chia hết cho $13.$
Lại có:
\(3^{105}\equiv\left(3^3\right)^{35}\equiv5^{35}\equiv\left(5^5\right)^7\equiv1\left(mod11\right)\)
\(4^{105}\equiv\left(4^3\right)^{35}\equiv9^{35}\equiv\left(9^5\right)^7\equiv1\left(mod11\right)\)
Từ đây:\(3^{105}+4^{105}\equiv1+1\equiv2\left(mod11\right)\)
Vậy $3^{105}+4^{105}$ không chia hết cho $11.$
P/s: Rất lâu rồi không giải, không chắc.
NM
Chứng minh: a,222^333+333^222 chia hết cho 13
b, 3^105+4^105 chai hết cho 13 nhưng ko chia hết cho 11
0
TN
0
15 tháng 8 2016
3^105 + 4^105 = 27^35 + 64^35 chia hết cho 27+64=91
Mà 91 chia hết cho 13 nên 3^105 + 4^105 chia hết cho 13
91 ko chia hết cho 11 nên 3^105+4^105 ko chia hết cho 11
DS
31 tháng 7 2016
Theo mình thì giải thế này:
Lũy thừa của 3 và 4 lên thì chỉ chia hết cho chúng lũy thừa lên hoặc chúng.
Mà 3 và 4 nguyên tố cùng nhau với 11 nên không chia hết cho 11.
Vậy ta có điều cần chứng minh.
Chúc em học tốt^^
KQ
1
LT
29 tháng 10 2016
3^105+4^105=27^35+64^35 chia het cho 27+64=91
ma 91 chia het co 13 nên a chia het cho 13
sau tự lí luận nhà
NN
2
24 tháng 10 2016
Ta có:
- \(3^3=27\equiv1\left(mod13\right)\Rightarrow\left(3^3\right)^{35}=3^{105}\equiv1\left(mod13\right)\)
\(4^3=64\equiv-1\left(mod13\right)\Rightarrow\left(4^3\right)^{35}=4^{105}\equiv-1\left(mod13\right)\)
Vậy \(A=3^{105}+4^{105}\equiv1+\left(-1\right)\left(mod13\right)\) hay \(A⋮13\left(1\right)\)
- \(4^3\equiv-2\left(mod11\right)\Rightarrow\left(4^3\right)^5=4^{15}\equiv\left(-2\right)^5\left(mod11\right)\) hay \(4^{15}\equiv1\left(mod11\right)\)
\(3^5=243\equiv1\left(mod11\right)\Rightarrow\left(3^5\right)^{21}=3^{105}\equiv1\left(mod11\right)\)
Vậy \(A=3^{105}+4^{105}\equiv1+1\left(mod11\right)\) hay \(A=3^{105}+4^{105}\equiv2\left(mod11\right)\)
=> A không chia hết cho 11 (2)
Từ (1) và (2) => đcpm
24 tháng 10 2016
Chứng minh chia hết cho 13:
\(A=3^{105}+4^{105}\\ A=\left(3^3\right)^{35}+\left(4^3\right)^{35}\\ A=27^{35}+64^{35}\\ A=\left(27+64\right)\left(27^{34}-27^{33}.35+.......+35^{34}\right)\)
\(A=91\left(27^{34}-27^{33}.35+........+35^{34}\right)\)
\(A=13.7\left(27^{34}-27^{33}.35+........+35^{34}\right)\) chia hết cho 13
Chứng minh không chia hết cho 11
\(3^{105}=243^{21}=\left(242+1\right)^{21}=242^{21}+2.242+1^{21}=242^{21}+2.242+1\)
Vì \(242\) chia hết cho 11 nên \(242^{21}+2.242+1\) chia 11 dư 1
\(4^{105}=1024^{21}=\left(1023+1\right)^{21}=1023^{21}+2.1023+1\)
Vì \(1023\) chia hết cho 11 nên \(1023^{21}+2.1023+1\) chia 11 dư 1
Vậy tổng \(A=3^{105}+4^{105}\) chia 11 dư 2 \(\left(1+1\right)\)
Vậy A không chia hết cho 11 (2)
NT
26 tháng 12 2017
1. \(A=2^{2016}-1\)
\(2\equiv-1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}\equiv1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}-1\equiv0\left(mod3\right)\\ \Rightarrow A⋮3\)
\(2^{2016}=\left(2^4\right)^{504}=16^{504}\)
16 chia 5 dư 1 nên 16^504 chia 5 dư 1
=> 16^504-1 chia hết cho 5
hay A chia hết cho 5
\(2^{2016}-1=\left(2^3\right)^{672}-1=8^{672}-1⋮7\)
lý luận TT trg hợp A chia hết cho 5
(3;5;7)=1 = > A chia hết cho 105
2;3;4 TT ạ !!
4 tháng 2 2017
a)A=1+4+4/\2+.........+4/\11
=(1+4+4/\2)+.....+(4/\9+4/\10+4/\11)
=21+..............+4/\9.(1+4+4/\2)
=21+..+4/\9.21
=(1+4/\3+....+4/\9).21chia hết cho 21
3^(3*15)+4.4^(2*51)
(27)^15+4.16^51
có 27 chia 13 dư 1
16 chia 13 dư 3 =>4.16^51 chia 3 dư 12
1+12=13 vậy chia hết cho 13
27 chia 11 dư 5
16 chia 11 dư 5
5+5*4=25 ko chia cho 11
hay nhưng viết mỏi tay