Cho tam giác ABC vuông tại A đường trung tuyến AM.Gọi D là trung điểm của AB,E là điểm đối xứng với M qua D 1.Chứng minh rằng:Tứ giác AEBM là hình bình hành 2.Chứng minh rằng:AB vuông góc với EM 3.Gọi F là trung điểm của AM.Chứng minh rằng:ba điểm E,F,C thẳng hàng
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a: Gọi giao điểm của AB và DM là K
Ta có: D đối xứng M qua AB
=>AB là đường trung trực của MD
=>AB\(\perp\)MD tại K và K là trung điểm của MD
Ta có: MK\(\perp\)AB
AC\(\perp\)AB
Do đó: MK//AC
Xét ΔABC có
M là trung điểm của BC
MK//AC
Do đó: K là trung điểm của AB
Xét tứ giác AMBD có
K là trung điểm chung của AB và MD
=>AMBD là hình bình hành
Hình bình hành AMBD có AB\(\perp\)MD
nên AMBD là hình thoi
b: Xét ΔABC có
M,K lần lượt là trung điểm của BC,BA
=>MK là đường trung bình của ΔABC
=>MK//AC và \(MK=\dfrac{AC}{2}\)
Ta có: \(MK=\dfrac{AC}{2}\)
\(MK=\dfrac{MD}{2}\)
Do đó: AC=MD
mà AC=AE
nên MD=AE
Xét tứ giác AMDE có
DM//AE
DM=AE
Do đó: AMDE là hình bình hành
=>DE//AM
Ta có: DE//AM
BD//AM
DE,BD có điểm chung là D
Do đó: D,B,E thẳng hàng
b: Xét tứ giác AEBM có
D là trung điểm của AB
D là trung điểm của ME
Do đó: AEBM là hình bình hành
mà MA=MB
nên AEBM là hình thoi
a: Xét tứ giác AEBM có
D là trung điểm của AB
D là trung điểm của EM
Do đó: AEBM là hình bình hành
a. Xét tứ giác AEBM có:
+ D là trung điểm AB (gt).
+ D là trung điểm EM (E là điểm đối xứng với M qua D).
\(\Rightarrow\) Tứ giác AEBM là hình bình hành (dhnb).
Mà AB \(\perp\) EM (E là điểm đối xứng với M qua D).
\(\Rightarrow\) Tứ giác AEBM là hình thoi (dhnb).
b. Tứ giác AEBM là hình thoi (cmt).
\(\Rightarrow\) AE = BM; AE // BM (tính chất hình thoi).
Ta có: M là trung điểm BC (AM là đường trung tuyến tam giác ABC).
\(\Rightarrow\) BM = CM.
Mà AE = BM (cmt).
\(\Rightarrow\) AE = CM.
Xét tứ giác AEMC có:
+ AE = CM (cmt).
+ AE // CM (AE // BM).
\(\Rightarrow\) Tứ giác AEMC là hình bình hành (dhnb).
c. Tứ giác AEBM là hình vuông (giả thiết).
\(\Rightarrow\) AM \(\perp\) BM (tính chất hình vuông).
\(\Rightarrow\) AM \(\perp\) BC.
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
+ AM là đường trung tuyến tam giác ABC (gt).
Mà AM là đường cao (AM \(\perp\) BC).
\(\Rightarrow\) Tam giác ABC vuông cân tại A.
Vậy tam giác ABC vuông cân tại A thì AEBM là hình vuông.
1/ Vì E đối xứng M qua D , nên D là trung điểm của ME. Đồng thời D cũng là trung điểm của AB
Vậy tứ giác MAEB có hai đường chéo ME và AB cắt nhau tại trung điểm D của mỗi đường nên là hình bình hành.
2/ Vì tam giác ABC vuông tại A và có đường trung tuyến ứng với cạnh huyền là AM nên AM = MB = 1/2 BC
Do vậy tam giác ABM là tam giác cân. Mà D lại là trung điểm của AB nên D cũng là chân đường cao hạ từ M xuống AB. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
3/ Từ ý 2/ ta có ngay MD // AC vì cùng vuông góc với AB (1)
Mặt khác ta có \(\hept{\begin{cases}MC=MB\\AD=DB\end{cases}}\) => MD là đường trung bình của tam giác ABC => AC = 2MD = ME (2)
Từ (1) và (2) ta có \(\hept{\begin{cases}ME=AC\\ME\text{//}AC\end{cases}}\) => MCAE là hình bình hành.
Suy ra các đường chéo AM và CE của hình bình hành MCAE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Ta có F là trung điểm của AM thì F cũng là trung điểm của CE , suy ra C,F,E thẳng hàng.
a) Ta có: E và M đối xứng với nhau qua D
=> DE = DM ; ME vuông góc AB
Ta có BD = DA ( D là trun điểm AB )
mà ME vuông góc AB ( cmt )
=> AB là trung trực của ME hay E và M đối xứng nhau qua D
b) Xét Tam giác ABC có:
M là trung điểm BC ( gt )
D là trung điểm AB ( gt)
=> DM là đường trung bình tam giác ABC
=> DM // AC; DM = 1/2AC
mà E thuộc DM
nên EM // AC
Xét tứ giác AEMC có:
EM // AC ( cmt)
EM = AC ( cùng = 2DM )
=> Tứ giác AEMC là hình bình hành( tứ giác có 2 cạnh đối vừa // vừa = nhau là hình bình hành)
c) Xét tứ giác AEBM có:
ED = DM ( gt )
DB = AD ( gt )
=> Tứ giác AEBM là hình bình hành ( D/h 5 )
mà AB vuông góc EM
=> hbh AEBM là hình thoi ( D/h 3 )
d) Ta có : AM = 1/2BC ( trung tuyến ứng với cạnh huyền)
=> AM = 1/2 . BC = 1/2. 5 = 2,5 (cm)
Chu vi hình thoi AEBM:
2,5 . 4 =10 (cm)
e) Nếu AEBM là hình vuông
thì Â= Ê= góc B= góc M= 90 độ
=>AM vuông góc BC
=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao tam giác ABC
=> Tam giác ABC vuông cân tại A
Vậy tam giác ABC vuông cân ở A thì AEBM là hình vuông