Question

[nguyễn quang]

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn ( C ) : x²+y²-2x-2y-14=0 và điểm A(2;0) . gọi I là tâm của ( C ). Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cắt ( C ) tại hai diểm M,N sao cho tam giác IMN có diện tích lớn nhất

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=4\)

\(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}\) (chà, rắc rối rồi, do \(\dfrac{IA}{R}< \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) nên tam giác IMN không bao giờ có thể vuông được)

Ta có: \(S_{\Delta IMN}=\dfrac{1}{2}IM.IN.sin\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow S_{IMN-max}\) khi \(sin\widehat{MIN}\) đạt max

Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\Rightarrow IH\le IA\)

Do vai trò M, N là như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử M, H nằm cùng phía so với A

\(cos\widehat{MIH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{MIH}\ge69^018'\) (do \(0< \widehat{MIH}\le90^0\) nên  \(cos\widehat{MIH}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIH}\))

\(\Rightarrow\widehat{MIN}=2\widehat{MIH}>90^0\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) nghịch biến so với \(\widehat{MIN}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{MIN}_{max}\) khi \(\widehat{MIN}_{min}\)

Lại có: \(\widehat{MIN}=180^0-2.\widehat{IMH}\Rightarrow\widehat{MIN}_{min}\) khi \(\widehat{IMH}_{max}\)

\(\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) (\(0\le\widehat{IMH}\le90^0\) nên \(sin\widehat{IMH}\) và \(\widehat{IMH}\) đồng biến)

\(sin\widehat{IMH}=\dfrac{IH}{IM}\le\dfrac{IA}{IM}\Rightarrow sin\widehat{IMH}_{max}\) khi H trùng A

Hay \(S_{\Delta IMN-max}\) khi H trùng A \(\Leftrightarrow d\perp IA\)

\(\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt

Phương trình d: \(1\left(x-2\right)-y=0\Leftrightarrow x-y-2=0\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]