Giải phương trình nghiệm nguyên:
\(x^4_1+x^4_2+x^4_3+x^4_4+x^4_5+x^4_6+x^4_7+x^4_8=1993\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt :
\(x^2=t\) => t >0
Phương trình tương đương :
\(t^2+2mt+4=0\) (*)
Để phương trình trên co 4 nghiệm phân biệt thì (*) phải có 2 nghiệm dương
=>| Điều kiện :
\(\Delta'=m-4>0\)
\(\Rightarrow m>4\)
Theo hệ thức Vi-ét :
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2+x_3+x_4=-\dfrac{b}{a}=0\\x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4=\dfrac{c}{a}=m\\x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4=-\dfrac{d}{a}=0\\x_1x_2x_3x_4=\dfrac{e}{a}=4\end{matrix}\right.\)
Mũ 4 phương trình đầu tiên lên rồi áp vào
\(x_1^4+x_2^4+x_3^4+x^4_4=32\) , sử dụng các phương trình bên dưới nữa để giải ra m là được
Đặt \(x^2=t\ge0\) pt trở thành: \(t^2-2\left(m-3\right)t-2m-24=0\) (1)
Để pt đã cho có 4 nghiệm pb thì (1) có 2 nghiệm dương pb
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-4m+33>0\\t_1+t_2=2\left(m-3\right)>0\\t_1t_2=-2m-24>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>3\\m< -12\end{matrix}\right.\)
Không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài
Theo định lí Viet \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1x_2=-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_1+y_2=x_1^4+x_2^4=\left[\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\right]^2-2x_1^2x_2^2=727\\y_1y_2=x_1^4x_2^4=1\end{matrix}\right.\)
Phương trình cần tìm có dạng \(ax^2+bx+c=0\left(1\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-\dfrac{b}{a}=727\\\dfrac{c}{a}=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-727a\\c=a\end{matrix}\right.\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow ax^2-727ax+a=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-727x+1=0\)
Ta có
\(x^4+y^4=7z^4+5\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4=8z^4+5\)
Áp dụng tính chất lũy thừa bậc 4 của số nguyên a khi chia cho 8 dư 0 hoặc 1
tức là \(a^4\equiv0,1\left(mod8\right)\)
\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4\equiv0,1,2,3\left(mod8\right)\)
Mà \(8z^4+5\equiv5\left(mod8\right)\)
vậy pt k có nghiệm nguyên