CMR:
\(\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a-1}< \sqrt{a+1}\),mọi >=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 5 2020
a) Ta có \(\frac{1}{n+k}>\frac{1}{2n}\)với k=1;2;...;n-1
=> \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+....+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\)
Mặt khác ta có \(\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n\left(+\left(n+1-k\right)\right)}< \frac{3}{2n}\)
\(\Leftrightarrow3k^2+3nk+n+3k\forall k=1;2;...;n\)
Với k=1 ta có \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{2n}\)
Với k=2 ta có \(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}< \frac{3}{2n}\)
..........................................
Với k=n ta có \(\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}< \frac{3}{2n}\)
Cộng từng vế của 2 BĐT trên ta được
\(2\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\right)< \frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+....+\frac{3}{2n}=\frac{3n}{2n}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)(đpcm)
MN
16 tháng 5 2020
Không cần chứng minh \(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\)
10 tháng 7 2019
\(3,\)Áp dụng bđt Mincopski \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)hai lần có
\(VT\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}+\sqrt{z+xy}\)
\(\ge\sqrt{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{x+y+z+2\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)+\left(\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)^2}\)
\(=\sqrt{1+2t+t^2}\left(t=\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)
\(=\sqrt{\left(t+1\right)^2}=t+1=VP\left(Đpcm\right)\)
10 tháng 7 2019
\(2,\frac{2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\le\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{\sqrt{a}.\sqrt{b}}}=\sqrt{\sqrt{ab}}\left(đpcm\right)\)
SM
0
15 tháng 1 2020
Cảm ơn chú đã kb giờ thì t sẽ làm hộ chú :V
\(P=\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1\right):\left(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1\right)\)
\(P=\left[\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)}{\left(\sqrt{ab}+1\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)}+\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{ab}+1\right)}{\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{ab}+1\right)}-\frac{ab-1}{ab-1}\right]\)
\(:\left[\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{ab}-1\right)}{\left(\sqrt{ab}+1\right)\left(\sqrt{ab-1}\right)}\right]-\frac{\left(\sqrt{ab}+\sqrt{a}\right)\left(\sqrt{ab}+1\right)}{\left(\sqrt{ab}-1\right)\left(\sqrt{ab}+1\right)}+\frac{ab-1}{ab-1}\)
\(P=\frac{\left(a\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{ab}-1\right)+\left(ab+\sqrt{ab}+a\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)-\left(ab-1\right)}{ab-1}\)
\(:\frac{\left(a\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{ab}-1\right)-\left(ab+\sqrt{ab}+a\sqrt{b}+\sqrt{a}\right)+\left(ab-1\right)}{ab-1}\)
\(P=\frac{a\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{ab}-1+ab+\sqrt{ab}+a\sqrt{b}+\sqrt{a}-ab+1}{ab-1}\)
\(:\frac{a\sqrt{b}-\sqrt{a}+\sqrt{ab}-1-ab-\sqrt{ab}-a\sqrt{b}-\sqrt{a}+ab-1}{ab-1}\)
\(P=\frac{2a\sqrt{b}+2\sqrt{ab}}{ab-1}:\frac{-2\sqrt{a}-2}{ab-1}\)
\(P=\frac{2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+1\right)}{ab-1}.\frac{ab-1}{-2\left(\sqrt{a}+1\right)}=-\sqrt{ab}\)
P/s: :V bài này tính toán kĩ nhưng chưa chắc đúng :VVVV
T
13 tháng 3 2019
Giải thử ạ,sai bỏ qua ạ:
gt ->\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\)
\(\sqrt{1+a^2}=\sqrt{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+a^2}=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt{4\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{a^2}\right)}\)
\(\le\frac{4+\frac{4}{a^2}}{4}=1+\frac{1}{a^2}\)
Tương tự và cộng theo vế: \(VT\le2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\)
Ta sẽ c/m: \(\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\sqrt{1+c^2}\right)< -1\).Tới đây em bí -_-"
TN
17 tháng 8 2018
Mấy bài này đã có người làm rồi nhé bạn vào câu hỏi tương tự mà xem.
Ta có:\(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}=\frac{\left(\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}\right)\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}\)(1)
Lại có:\(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}< 2\sqrt{a}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}\right)^2=2a+2\sqrt{a^2-1}< \left(2\sqrt{a}\right)^2=2a+2a\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2-1}< \sqrt{a^2}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}< 2\sqrt{a}\)(2)
Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}>\frac{2}{2\sqrt{a}}=\frac{1}{\sqrt{a}}\)\(\Rightarrow\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}>\frac{1}{\sqrt{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+1}>\frac{1}{\sqrt{a}}+\sqrt{a-1}\)