Với x,y là các số thực dg. Tìm min của
Q=\(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\)+\(\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
2 tháng 7 2018
Ta có :
\(A=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{1+\left(\frac{2y}{x}\right)^3}}\)
\(\Rightarrow A=\sqrt{\frac{1}{\left(1+\frac{2y}{x}\right)\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{\frac{\left(1+\frac{2y}{x}\right)+\left(1-\frac{2y}{x}+\frac{4y^2}{x^2}\right)}{2}}\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{2}{2+\frac{4y^2}{x^2}}=\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)
VÀ
\(B=\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(\Rightarrow B=\sqrt{\frac{4}{1+\left(\frac{x}{y}+1\right)^3}}\)
\(\Rightarrow B=\frac{2}{\sqrt{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{2}{\frac{\left[1+\left(1+\frac{x}{y}\right)\right]+\left[1-\left(1+\frac{x}{y}\right)+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2\right]}{2}}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)
Suy ra :
\(P=A+B\ge\frac{1}{1+2\left(\frac{y}{x}\right)^2}+\frac{4}{2+\left(1+\frac{x}{y}\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
"=" khi \(x=y\)
17 tháng 9 2018
lô bn xàm lồn
bn trẩu , m phải ARMY hơm
nếu phải thì nhục quá trời,tự nhiên fan BTS lại chưa con phò như mài ,u hú hú
bớt sàm lại đuy,ko thì đừng làm AMI nx,ư~~
TN
18 tháng 9 2016
Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow T\ge1\)
Bài 2:
[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
12 tháng 7 2017
Đúng rồi Thắng , bài này đúng ra phải là \(A=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(A=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
\(x^4+8xy^3=x^4+8.xy.y^2\le x^4+4\left(x^2y^2+y^4\right)=\left(x^2+2y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8xy^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}\)
\(\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}=\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2+xy\right)}\le\frac{x^2+3y^2+2xy}{2}=\frac{2y^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\le\frac{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}{2}=x^2+2y^2\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
Vậy minA = 1 tại x = y > 0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 7 2020
Lời giải:
Đặt $\frac{y}{x}=a(a>0)$ thì:
\(P=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{2y}{x})^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{x}{y})^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+8a^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{1}{a})^3}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM dạng $xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$ ta có:
\(1+8a^3=1+(2a)^3=(1+2a)(1-2a+4a^2)\leq \left(\frac{1+2a+1-2a+4a^2}{2}\right)^2=(2a^2+1)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{8a^3+1}}\geq \frac{1}{2a^2+1}(1)\)
\(1+(1+\frac{1}{a})^3=(2+\frac{1}{a})[1-(1+\frac{1}{a})+(1+\frac{1}{a})^2]\leq (\frac{3a^2+2a+1}{2a^2})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{1}{a})^3}}\geq \frac{4a^2}{3a^2+2a+1}\)
Mà: \(\frac{4a^2}{3a^2+2a+1}\geq \frac{4a^2}{3a^2+a^2+1+1}=\frac{2a^2}{2a^2+1}\) nên \(\sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{1}{a})^3}}\geq \frac{2a^2}{2a^2+1}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq \frac{1}{2a^2+1}+\frac{2a^2}{2a^2+1}=1$
Vậy $P_{\min}=1$ khi $a=1\Leftrightarrow x=y$
16 tháng 5 2020
Bài 1: diendantoanhoc.net
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) BĐT cần chứng minh trở thành
\(\frac{x}{\sqrt{3zx+2yz}}+\frac{x}{\sqrt{3xy+2xz}}+\frac{x}{\sqrt{3yz+2xy}}\ge\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}+\frac{y}{\sqrt{5x}\cdot\sqrt{3y+2z}}+\frac{z}{\sqrt{5y}\cdot\sqrt{3z+2x}}\ge\frac{3}{5}\)
Theo BĐT AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(_{cyc}\frac{x}{\sqrt{5z}\cdot\sqrt{3x+2y}}\ge2\)\( {\displaystyle \displaystyle \sum }\)\(\frac{x}{3x+2y+5z}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{x\left(3x+2y+5z\right)+y\left(5x+3y+2z\right)+z\left(2x+5y+3z\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+7\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(\ge\frac{2\left(x+y+z\right)^2}{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{20}{3}\left(xy+yz+zx\right)}\)
\(=\frac{2\left(x^2+y^2+z^2\right)}{5\left[x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\right]}=\frac{3}{5}\)
16 tháng 5 2020
Bổ sung bài 1:
BĐT được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c
HB
tìm Min của:
\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\) với x,y >0
1
13 tháng 1 2018
\(T=\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\dfrac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
\(=\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\dfrac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\dfrac{4y^2}{4y^2+2x^2}\)
\(\ge\dfrac{2x^2+4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow Q\ge1\).Vậy MinQ=1
\(Q=\frac{x^2}{\sqrt{x^4+8xy^3}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
\(x^4+8xy^3=x^4+8.xy.y^2\le x^4+4\left(x^2y^2+y^4\right)=\left(x^2+2y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8xy^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}\)
\(\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}=\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+y^2+xy\right)}\le\frac{x^2+3y^2+2xy}{2}=\frac{2y^2+\left(x+y\right)^2}{2}\)
\(\le\frac{2y^2+2\left(x^2+y^2\right)}{2}=x^2+2y^2\)
\(\Rightarrow Q\ge\frac{x^2}{x^2+2y^2}+\frac{2y^2}{x^2+2y^2}=1\)
Vậy minQ= 1 tại \(x=y>0\)