Cho x, y, z > 0. CM: \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
2
19 tháng 8 2016
Áp dụng bđt \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}+\frac{p^2}{c}\ge\frac{\left(m+n+p\right)^2}{a+b+c}\) (bạn tự chứng minh)
Được : \(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge1\) (đpcm)
19 tháng 8 2016
Ta có : \(\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}\)
\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)
12 tháng 8 2016
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2zx}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2zx+z^2+2xy}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
4 tháng 6 2019
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta có:
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=\frac{9}{9}=1.\)(đpcm)
4 tháng 6 2019
\(\frac{1}{x^2+2yz}+\frac{1}{y^2+2xz}+\frac{1}{z^2+2xy}\ge\frac{9}{x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz}=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
( áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 6 2019
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{x}{y}=a\\\frac{y}{z}=b\\\frac{z}{x}=c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow abc=1\)
\(P=\frac{2b}{c}+\frac{2c}{a}+\frac{2a}{b}-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(P=2ab^2+2bc^2+2a^2c-a-b-c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
\(ab^2+a\ge2ab\Rightarrow ab^2\ge2ab-a\) ; \(ab^2+\frac{1}{a}\ge2b\Rightarrow ab^2\ge2b-\frac{1}{a}\)
\(\Rightarrow2ab^2\ge2ab+2b-a-\frac{1}{a}\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow P\ge2\left(ab+ac+bc\right)+2\left(a+b+c\right)-2\left(a+b+c\right)-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{2\left(ab+ac+bc\right)}{abc}-2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\) hay \(x=y=z\)
LH
22 tháng 4 2019
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\)
\(P=\frac{\left[\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+2yz}}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{y^2+2xz}}\right)^2+\left(\frac{z}{\sqrt{z^2+2xy}}\right)^2\right]\left[\sqrt{x^2+2yz}^2+\sqrt{y^2+2xz}^2+\sqrt{z^2+2xy}^2\right]}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)(Bunyakovski)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{x}{x^2+2yz}=\frac{y}{y^2+2xz}=\frac{z}{z^2+2xy}\Leftrightarrow x=y=z\)
Vậy GTNN P=1 <=> x=y=z
LH
22 tháng 4 2019
Ngay ở trên hai cái [...] [...] nhân với nhau ấy, tại nó dài quá
23 tháng 8 2019
Vs x,y,z>0 .Áp dụng bđt Svac-xơ có:
\(P=\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+2yz+y^2+2xz+z^2+2xy}\)
<=> P\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}\)
<=> P\(\ge1\)
Dấu "=" xảy ra<=> x=y=z=1
Vậy minP=1 <=> x=y=z=1
23 tháng 8 2019
Solution:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz :
\(P\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}=1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 9 2019
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
NT
1
16 tháng 7 2020
a) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz , ta được
\(\frac{x^2}{x^2+2yz}+\frac{y^2}{y^2+2xz}+\frac{z^2}{z^2+2xy}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz}=1\)(đpcm)
C
17 tháng 2 2020
\(RHS\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}+\sqrt{5y^2+2yz+z^2}+\sqrt{5z^2+2zx+x^2}}\)
Thử chứng minh \(\sqrt{5x^2+2xy+y^2}\le\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y\) cái này xem sao
khi đó:
\(RHS\ge\frac{9}{\frac{3\sqrt{2}}{2}\left(x+y+z\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\left(x+y+z\right)}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=z=1
20 tháng 2 2020
Cần chứng minh BĐT sau : \(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}\ge\frac{5x-y}{8\sqrt{2}}\)
\(\Leftrightarrow8\sqrt{2}x^2\ge\left(5x-y\right)\sqrt{5x^2+2xy+y^2}\) ( 1 )
Xét 5x - y \(\le\)0 \(\Rightarrow\)VT \(\ge\)0 ; VP \(\le\)0 \(\Rightarrow\)BĐT đã được chứng minh
Xét 5x - y \(\ge\)0 . Bình phương 2 vế của ( 1 ), ta được :
\(128x^4\ge\left(25x^2-10xy+y^2\right)\left(5x^2+2xy+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow128x^4\ge125x^4+10x^2y^2-8xy^3+y^4\)
\(\Leftrightarrow3x^4-10x^2y^2+8xy^3-y^4\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(3x^4-3xy^3\right)+\left(10xy^3-10x^2y^2\right)+\left(xy^3-y^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3x\left(x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)+10xy^2\left(y-x\right)+y^3\left(x-y\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(3x^3+3x^2y+3xy^2-10xy^2+y^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\left(3x^3-3xy^2\right)+\left(3x^2y-3xy^2\right)-\left(xy^2-y^3\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(3x^2+6xy-y^2\right)\ge0\)( luôn đúng )
( Vì \(5x-y\ge0\Rightarrow x\ge\frac{y}{5}\)\(\Rightarrow3x^2+6xy-y^2\ge3.\left(\frac{y}{5}\right)^2+6.\frac{y}{5}.y-y^2=\frac{8}{25}y^2\ge0\))
Tương tự : \(\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}\ge\frac{5y-z}{8\sqrt{2}}\); \(\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2xz+x^2}}\ge\frac{5z-x}{8\sqrt{2}}\)
Cộng từng vế 3 BĐT lại với nhau, ta được :
\(\frac{x^2}{\sqrt{5x^2+2xy+y^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{5y^2+2yz+z^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{5z^2+2xz+x^2}}\)
\(\ge\frac{5x-z+5y-z+5z-x}{8\sqrt{2}}=\frac{4\left(x+y+z\right)}{8\sqrt{2}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}\)
Dấu "=' xảy ra khi x = y = z = 1
Vậy BĐT đã được chứng minh
\(\hept{\begin{cases}2yz\le y^2+z^2\\2zx\le z^2+x^2\\2xy\le x^2+y^2\end{cases}}\)
\(VT\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)