Cho: A=1+1/2+1/3+1/4+...+1/2100-1, chứng minh rằng A>50 và A<100
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
CW
14 tháng 6 2016
Bài 1:
a) Ta có:
\(\frac{-1}{3}< 0\)
\(\frac{1}{100}>0\)
\(\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{1}{100}\)
b)Ta có;
\(\frac{-231}{232}>-1\)
\(\frac{-1321}{1320}< -1\)
\(\Rightarrow\frac{-231}{232}>\frac{-1321}{1320}\)
c) Ta có:
\(\frac{-27}{29}< 0\)
\(\frac{272727}{292929}>0\)
\(\Rightarrow\frac{-27}{29}< \frac{272727}{292929}\)
Bài 2:
\(a\left(b+1\right)=ab+a\)
\(b\left(a+1\right)=ab+b\)
Mà \(a< b\)
\(\Rightarrow a\left(b+1\right)< b\left(a+1\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+1}{b+1}\)
UK
13 tháng 8 2017
\(a+b+c\le1\) hoặc \(a+b+c=1\) nhá
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:
\(VT\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}=9\)
Đẳng thức xảy ra khi ..........
26 tháng 5 2016
Gọi d là ƯC của 4n + 7 và 6n + 1
Khi đó : 4n + 7 chia hết cho d và 6n + 1 chia hết cho d
<=> 12n + 21 chia hết cho d và 12n + 2 chia hết cho d
=> (12n + 21) - ( 12n + 2) chia hết cho d = > 19 chia hết cho d
Vì 19 là số nguyên tố => d = 1
Vậy \(\frac{4n+7}{6n+1}\) Là p/s tối giản
26 tháng 5 2016
Nếu n = 3 thì 4n+7/6n+1=1 đâu phải là phân số tối giản
A
2
8 tháng 6 2017
\(A< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(=1-\frac{1}{100}< 1\Rightarrow A< 1\)
Vậy A<1
8 tháng 6 2017
ta có :
\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1.2}\)
\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1.2.3}=\frac{1}{2.3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1.2.3.4}< \frac{1}{3.4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{5!}=\frac{1}{1.2.3.4.5}< \frac{1}{4.5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)
...................................................................................................
\(\frac{1}{99!}=\frac{1}{1.2.3...98.99}< \frac{1}{98.98}=\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)
\(\frac{1}{100!}=\frac{1}{1.2.3....99.100}< \frac{1}{99.100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
cộng vế với vế có
\(A=\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+..+\frac{1}{100!}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+.....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)DPCM
7 tháng 6 2017
Ta có:
A = 1/2-1/3+1/4-1/5+1/6-1/7+ ..... +1/98-1/99
=> -A = -1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7+ ..... -1/98+1/99
=> -A = 1/2+1/3+1/4+1/5+ ... +1/98+1/99 - 2.(1/2+1/4+1/6+...+1/98)
=> -A = 1/2+1/3+1/4+1/5+ ... +1/98+1/99 -(1+1/2+1/3+1/4+...+1/49)
=> -A = -1+1/50+1/51+1/52+ ... +1/99
Đặt: B = 1/50+1/51+1/52+ ... +1/99
=> B = (1/50 +1/51+...+1/59) +(1/60+1/61+...+1/69) +(1/70+1/71+...+1/79) +(1/80+1/81+...+1/89) +(1/90+1/91+...+1/99)
Do đó:
10.(1/59)+10.(1/69)+10.(1/79) +10.(1/89)+10.(1/99) < B < 10.(1/50)+10.(1/60)+10.(1/70) +10.(1/80)+10.(1/90)
=> 10.(1/60)+10.(1/70)+10.(1/80) +10.(1/90)+10.(1/100) < B < 10.(1/50)+10.(1/60)+10.(1/70) +10.(1/80)+10.(1/90)
=> 1/6 +1/7 +1/8 +1/9 +1/10 < B < 1/5 +1/6 +1/7 +1/8 +1/9
=> 0,6456 < B < 0,7456
=> 3/5 < B < 4/5
=> -2/5 < -1+B < -1/5
=> -2/5 < -A < -1/5
=> 1/5 < A <2/5
7 tháng 6 2017
làm gì dài dòng thế
A = \(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\)
A = \(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{7}\right)+...+\left(\frac{1}{98}-\frac{1}{99}\right)\)
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất bằng \(\frac{13}{60}\) nên lớn hơn \(\frac{12}{60}\), tức là lớn hơn 0,2,còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A > 0,2
để chứng minh A < \(\frac{2}{5}\), ta viết :
A = \(\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{8}\right)-...-\left(\frac{1}{97}-\frac{1}{98}\right)-\frac{1}{99}\)
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất nhỏ hơn \(\frac{2}{5}\), còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A < \(\frac{2}{5}\)
5 tháng 6 2017
a) Ta xét 2 cặp ab và ( a + 1 ) . ( b - 1 )
Ta có : ( a + 1 ) . ( b - 1 ) = a . ( b - 1 ) + ( b - 1 ) = ab - a + b - 1 = ab + b - ( a + 1 ) > ab ( vì b > a + 1 )
Như vậy tích hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất,hai số thuộc cặp trong cùng có tích lớn nhất
b) Gọi C = \(\frac{1}{101}+\frac{1}{102}+...+\frac{1}{199}+\frac{1}{200}\)
Ta ghép các phân số ở hai đầu và các phân số cách đều hai đầu thành 50 cặp
C = \(\left(\frac{1}{101}+\frac{1}{200}\right)+\left(\frac{1}{102}+\frac{1}{199}\right)+...+\left(\frac{1}{150}+\frac{1}{151}\right)\)
C = \(\frac{301}{101.200}+\frac{301}{102.199}+...+\frac{301}{150.151}\)
C = \(301.\left(\frac{1}{101.200}+\frac{1}{102.199}+...+\frac{1}{150.151}\right)\)
Xét mẫu của 50 phân số trong dấu ngoặc, theo câu a thì 101.200 có giá trị nhỏ nhất, 150.151 có giá trị lớn nhất,suy ra trong 50 phân
số trong dấu ngoặc thì \(\frac{1}{101.200}\)lớn nhất, \(\frac{1}{150.151}\)nhỏ nhất
Do đó : C < \(301.\frac{1}{101.200}.50=\frac{301}{404}< \frac{303}{404}=\frac{3}{4}\)( đpcm )
C > \(301.\frac{1}{150.151}.50=\frac{301}{453}>\frac{300}{453}>\frac{300}{480}=\frac{5}{8}\)( đpcm )