Bài toán 1. So sánh:
20
2009
và
10
20092009
.
Bài toán 2. Tính tỉ số
B
A
, biết:
2008
1
2007
2
...
3
2006
2
2007
1
2008
2009
1
2008
1
2007
1
...
4
1
3
1
2
1
B
A
Bài toán 3. Cho x, y, z, t
N
*
.
Chứng minh rằng: M =
tzx
t
tzy
z
tyx
y
zyx
x
có giá trị không phải là số
tự nhiên.
Bài toán 4. Tìm x; y
Z biết:
a. 25 –
2
y
= 8( x – 2009)
b.
3
x
y
=
x
3
y
+ 1997
c. x + y + 9 = xy – 7.
Bài toán 5. Tìm x biết
a.
1632)32(2)32(5 xxx
b.
426
22
xxx
.
Bài toán 6. Chứng minh rằng:
22222222
10.9
19
...
4.3
7
3.2
5
2.1
3
< 1
Bài toán 7. Cho n số x
1
, x
2
, ..., x
n
mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu
x
1
.x
2
+ x
2
.x
3
+ ...+ x
n
.x
1
= 0 thì n chia hết cho 4.
Bài toán 8. Chứng minh rằng:
S =
20042002424642
2
1
2
1
...
2
1
2
1
...
2
1
2
1
2
1
nn
< 0,2
Bài toán 9. Tính giá trị của biểu thức A =
n
x
+
n
x
1
giả sử
01
2
xx
.
Bài toán 10. Tìm max của biểu thức:
1
43
2
x
x
.
Bài toán 11. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng
D =
4
3
222
yxz
z
xzy
y
zyx
x
Bài toán 12. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu
thức: A(x) = ( 3 - 4x + x
2
)
2004
.( 3 + 4x + x
2
)
2005
Bài toán 13. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn:
b
aa 553
23
và a + 3 =
c
5
Bài toán 14. Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức:
120062006...200620062006
22002200320042005
xxxxxx
Bài toán 15. Rút gọn biểu thức: N =
312
208
2
2
x
xx
xx
Bài toán 16. Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc
loại nào biết:
zyyx
23
Bài toán 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau:
B =
2009432
3...3333
Bài toán 18. Cho 3x – 4y = 0. Tìm min của biểu thức: M =
22
yx
Bài toán 19. Tìm x, y, z biết:
5432
222222
zyxzyx
.
Bài toán 20. Tìm x, y biết rằng: x
2
+ y
2
+
22
11
yx
= 4
Bài toán 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ
số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.
Bài toán 22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4
là số chính phương.
Bài toán 23. Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện
cacdab ::
thì
cabbbcabbb ::
.
Bài toán 24. Tìm phân số
n
m
khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng
nk
km
n
m
.
Bài toán 25. Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu
bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.
Bài toán 26. Chứng minh rằng: A = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + n là số chính phương (n lẻ).
Bài toán 27. Tìm n biết rằng: n
3
- n
2
+ 2n + 7 chia hết cho n
2
+ 1.
Bài toán 28. Chứng minh rằng: B =
32
12
2
n
là hợp số với mọi số nguyên dương n.
Bài toán 29. Tìm số dư khi chia (n
3
- 1)
111
. (n
2
- 1)
333
cho n.
Bài toán 30. Tìm số tự nhiên n để 1
n
+ 2
n
+ 3
n
+ 4
n
chia hết cho 5.
Bài toán 31.
a. Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì a
6
– 1 chia hết cho 7.
b. Cho f(x + 1)(x
2
– 1) = f(x)(x
2
+9) có ít nhất 4 nghiệm.
c. Chứng minh rằng: a
5
– a chia hết cho 10.
Bài toán 32. Tính giá trị của biểu thức: A =
54
275 zxy
tại (x
2
– 1) + (y – z)
2
= 16
b) 
d) 
Bài 2: Tìm x biết:
10:
Vì n là số lẻ nên n=2k-1
Số số hạng là (2k-1-1):2+1=k(số)
Tổng là (2k-1+1)*k/2=2k*k/2=k^2 là số chính phương
11:
n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1
=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1
=>n+8 chia hết cho n^2+1
=>n^2-64 chia hết cho n^2+1
=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1
=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}
=>\(n\in\left\{0;2;-2;2\sqrt{3};-2\sqrt{3};8;-8\right\}\)