Question

[Thái Thị Liên]

chứng minh

(n⁴ - n²)(n²+1)chia hết cho 60

Answer 1

[soyeon_Tiểu bàng giải]

Ta có:

(n⁴ - n²).(n² + 1)

= n².(n² - 1).(n² + 1)

= (n² - 1).n².(n² + 1)

Vì (n² - 1).n².(n² + 1) là tích 3 số nguyên liến tiếp => (n² - 1).n².(n² + 1) chia hết cho 3 (1)

Do n² là số chính phương chia 5 chỉ có thể dư 0 ; 1 hoặc 4

Với mỗi trường hợp dư (n² - 1).n².(n² + 1) đều chia hết cho 5 (2)

Do có 3 số n² - 1; n²; n² + 1 mà chỉ có 2 loại là số chẵn và số lẻ nên theo nguyên lí Đi-rích-lê có 2 số cùng chẵn hoặc cùng lẻ

=> n² - 1 và n² + 1 cùng chẵn hoặc cùng lẻ

+ Nếu n² - 1 và n² + 1 cùng chẵn, tích 2 số này là tích 2 số chẵn liên tiếp nên chia hết cho 4

+ Nếu n² - 1 và n² + 1 cùng lẻ thì n² chẵn => n² chia hết cho 2 mà n² là số chính phương => n² chia hết cho 4 (3)

Từ (1); (2) ; (3), do 3; 4; 5 nguyên tố cùng nhau từng đôi một => (n² - 1).n².(n² + 1) chia hết cho 60

=> (n⁴ - n²).(n² + 1) chia hết cho 60 (đpcm)