S=1/2^3+1/3^3+1/4^3+....+1/2009^3
chứng minh rằng:S<1/4
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
31 tháng 3 2015
\(S=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{8}+...+\frac{1}{15}\right)+...+\left(\frac{1}{2^{99}}+...+\frac{1}{2^{100}-1}\right)\)
\(S=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2^3}+...+\frac{1}{15}\right)+...+\left(\frac{1}{2^{99}}+...+\frac{1}{2^{100}-1}\right)\)
ta chia S thành 10 nhóm: 1 và 99 nhóm như trên
nhận xét:
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<\frac{1}{2}.2=1\)
\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}<\frac{1}{2^2}.4=1\)
\(\frac{1}{8}+...+\frac{1}{15}<\frac{1}{8}.8=1\)
..........
\(\frac{1}{2^{99}}+...+\frac{1}{2^{100}-1}<\frac{1}{2^{99}}.2^{99}=1\)
=> S < 1+ 1 + 1+...+ 1 = 100 => điều phải chứng minh
WW
2
19 tháng 4 2017
S=(1+2)+(2^2+2^3)+(2^4+2^5)+....+(2^99+2^100)
S=3+3.2^2+3.2^4+.....+3.2^99
S=3.(2^2+2^4+.....+2^99)
Vì 3 chia hết 3=>3.(2^2+2^4+....+2^99)
=>S chia hết 3
2S=2+2^2+2^3+2^4+.....+2^101
2S-S=(2+2^2+2^3+2^4+....+2^101)-(1+2+2^2+2^3+2^4+....+2^100)
S=2^101-1
S+1=2^101-1+1=2^101
=>x=101
SK
0
FS
0
HT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
8 tháng 3 2023
Ta chứng minh BĐT sau:
\(\dfrac{1}{x^3+x+2}\ge\dfrac{-x^2+3}{8}\) với \(x>0\)
Thật vậy, BĐT tương đương:
\(\left(x^2-3\right)\left(x^3+x+2\right)+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(x^3+2x^2+x+2\right)\ge0\) (luôn đúng)
Áp dụng:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{-a^2+3}{8}+\dfrac{-b^2+3}{8}+\dfrac{-c^2+3}{8}=\dfrac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{8}=\dfrac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
R
0
HT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 5 2019
\(P=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{2008}{3^{2008}}+\frac{2009}{3^{2009}}\)
\(\Rightarrow3P=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{2009}{3^{2008}}\)
\(\Rightarrow2P=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^3}+...+\frac{1}{3^{2008}}-\frac{2009}{3^{2009}}=A-\frac{2009}{3^{2009}}\)
\(A=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{2007}}+\frac{1}{3^{2008}}\)
\(\Rightarrow3A=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{2007}}\)
\(\Rightarrow2A=3-\frac{1}{3^{2008}}< 3\Rightarrow A< \frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow2P=A-\frac{2009}{2^{2009}}< A< \frac{3}{2}\Rightarrow P< \frac{3}{4}\)
Đầu tiên ta chứng minh \(\frac{1}{n.n}< \frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}\)(n thuộc N*)
Ta có: \(\frac{1}{\left(n-1\right).\left(n+1\right)}=\frac{1}{\left(n-1\right).n+\left(n-1\right)}=\frac{1}{n.n-n+n-1}=\frac{1}{n.n-1}>\frac{1}{n.n}\)
\(S=\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2009^3}< \frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+\frac{1}{3.4.5}+...+\frac{1}{2008.2009.2010}\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{2}{1.2.3}+\frac{2}{2.3.4}+\frac{2}{3.4.5}+...+\frac{2}{2008.2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2008.2009}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2009.2010}\right)\)
\(S< \frac{1}{2}.\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\)
=> S < 1/4 (đpcm)
Ủng hộ mk nha ^_-
cho mình hỏi tại sao:
1/2 . (1/1.2−1/2009.2010) = 1/2 . 1/2