cho tứ giác ABCD. Gọi E,F,G,H,M,N lần lượt là trung điểm của AB,BD,CD,AC,BC,AD. Chứng minh rằng EG,FH,MN đồng quy
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
* Trong ∆ BCD, ta có:
E là trung điểm của BC (gt)
F là trung điểm của BD (gt)
Suy ra EF là đường trung bình của ∆ BCD
⇒ EF // CD và EF = 1/2 CD (1)
* Trong ∆ ACD, ta có: H là trung điểm của AC (gt)
G là trung điểm của AD (gt)
Suy ra HG là đường trung bình của ∆ ACD
⇒HG // CD và HG = 1/2 CD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG
Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).
* Mặt khác: EF // CD (chứng minh trên)
AB ⊥ CD (gt)
Suy ra EF ⊥ AB
Trong ∆ ABC ta có HE là đường trung bình ⇒ HE // AB
Suy ra: HE ⊥ EF hay ∠ (FEH) = 90 0
Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.
+ Xét tg BCD có EF là đường trung bình => EF//=CD/2
+ Xét tg ACD có GH là đường trung bình => GH//=CD/2
=> EF//=GH => EFGH là hình bình hành (1)
+ Xét tg ABC có HE là đường trung bình => HE=AB/2 mà EF=CD/2 và AB=CD => EF=HE (2)
Từ 91) và (2) => EFGH là hình thoi => EG vuông góc với FH (2 đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau)
Xét ΔACD có
I,G lần lượt là trung điểm của CA,CD
=>IG là đường trung bình của ΔACD
=>IG//AD và IG=AD/2(1)
Xét ΔBAD có
E,K lần lượt là trung điểm của BA,BD
=>EK là đường trung bình của ΔBAD
=>EK//AD và EK=AD/2(2)
Từ (1) và (2) suy ra EK//IG và EK=IG
Xét tứ giác EKGI có
EK//GI
EK=GI
Do đó: EKGI là hình bình hành
=>EG cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(3)
Xét ΔABD có
E,H lần lượt là trung điểm của AB,AD
=>EH là đường trung bình của ΔABD
=>EH//BD và EH=BD/2(4)
Xét ΔCBD có
F,G lần lượt là trung điểm của CB,CD
=>FG là đường trung bình của ΔCBD
=>FG//BD và FG=BD/2(5)
Từ (4) và (5) suy ra EH//FG và EH=FG
Xét tứ giác EHGF có
EH//FG
EH=FG
Do đó: EHGF là hình bình hành
=>EG cắt HF tại trung điểm của mỗi đường(6)
Từ (3) và (6) suy ra EG,FH,IK đồng quy
Gọi I là giao điểm của hai AC và BD (1)
Ta có: AC và BD là hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD
=> AI = IC và BI = ID
Xét tam giác ABC có: AE=EB và AI = IC
=> EI là đường trung bình của tam giác ABC
=> EG cắt AC tại I (2)
Xét tam giác ABD có AH=HD và DI=IB
=> HI là đường trung bình của tam giác ABD
=> HF cắt BD tại I (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra EG cắt HF tại I (4)
Từ (1),(2),(3),(4) suy ra EG,HF,AC,BD đồng quy tại I
Vì HG là đường trung bình của tam giác ACD nên HG // CD. Tương tự EF là đường trung bình của tam giác BCD nên EF // CD.
Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua O kẻ các đường thẳng lần lượt vuông góc với AB,BC,CD,DA tại E,G,F,H.Chứng minh:
a) Bà điểm E,O,F thẳng hàng và ba điểm G,O,H thẳng hàng
b) Tứ giác EGFH lầ hình vuông