Question

[Cô Hoàng Huyền]

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. $M$ là điểm tùy ý trên nửa đường tròn ($M$ khác $A$ và $B$). Kẻ \(MH\perp AB\) \(\left(H\in AB\right)\). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa nửa đường tròn $(O)$, vẽ hai nửa đường tròn tâm \(O_1\) đường kính $AH$ và tâm \(O_2\) đường kính $BH$. $MA$ và $MB$ cắt hai nửa đường tròn \(\left(O_1\right)\) và \(\left(O_2\right)\) lần lượt tại $P$ và $Q$.
a) Chứng minh rằng $MH = PQ$.
b) Chứng minh tứ giác $PQBA$ nội tiếp.
c) Chứng minh $PQ$ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn \(\left(O_1\right)\) và \(\left(O_2\right)\).

Answer 1

[Hậu]

Answer 2

[Ngô Nhật Hạ]

a) Vì AH, HB, AB đều là các đường kính của các nửa đường tròn (O₁) , (O₂) và (O) nên tứ giác MPHQ có ba góc P, Q, M vuông. Vì vậy nó là hình chữ nhật.

Từ đó, ta có HM = PQ.
b) Vì MHPQ là hình chữ nhật nên $\widehat{MPQ}=\widehat{MHQ}=\widehat{MBH}\left(=\genfrac{}{}{0ex}{}{\stackrel{⌢}{\mathrm{HQ}}}{2}\right)$, do đó APQB là tứ giác nội tiếp.

c) Ta có $\widehat{O^{1}PA}=\widehat{PA{O}^1}=90^o-\widehat{HMP}=90^o-\widehat{MPQ}$

$\Rightarrow \widehat{O^{1}PA}+\widehat{MPQ}=90^o\Rightarrow \widehat{O^{1}PQ}=90^o$ nên PQ tiếp xúc nửa đường tròn (O₁) tại P. 

Tương tự , PQ tiếp xúc (O₂) tại Q hay PQ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn (O₁) và (O₂)