a) 8524 : 4 ............................... ............................... ................................ …………………… ……………………. | b) 9547 : 3 ............................... ............................... ................................ …………………… ………………….. | c) 8249 : 8 ............................... ............................... ................................ …………………… ………………….. | d) 1757 : 7 ............................... ............................... ................................ …………………… ……………………. |
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
phép tính như vậy và hỏi
nó chỉ đành cho mấy đứa ngu như mi thôi THV
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge2018\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge a+b+c\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-c\right)}{a^3+b^3}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(a-b\right)\left(\frac{a^3}{c^3+a^3}-\frac{b^3}{b^3+c^3}\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\frac{c^3\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\right)\ge0\)
BĐT cuối cùng liếc qua cũng biết thừa đúng :) nên ta có ĐPCM
Dấu "=" <=> a=b=c
Ủng hô va` kb với mình nhé ^^
BĐT đồng bậc nên chuyển vế thẳng tiến ạ!:D Em ko chắc đâu nhá!
a) \(BĐT\Leftrightarrow a^6+a^2b^4+a^4b^2+b^6\ge a^6+2a^3b^3+b^6\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4+a^4b^2\ge a^3b^3+a^3b^3\)
\(\Leftrightarrow a^2b^4-a^3b^3+a^4b^2-a^3b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^3\left(b-a\right)+a^3b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3b^2-a^2b^3\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)^2\ge0\) (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi a = b hoặc tồn tại một số bằng 0.
b) \(BĐT\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+a^3b+b^4\)
\(\Leftrightarrow\left(a^4-a^3b\right)-\left(ab^3-b^4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) (luôn đúng do \(a^2+ab+b^2=a^2+2.a.\frac{b}{2}+\frac{b^2}{4}+\frac{3}{4}b^2=\left(a+\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\ge0\) )
Đẳng thức xảy ra khi a = b
cho a,b,c > 0 , tm a +b +c = 1 . CM : \(a^4/(a^3 + b^3) + b^4/(b^3 + c^3 )+ c^4/(c^3 + a^3) >= 1/2\)
Lời giải:
Xét hiệu:
\(2(a^4+c^4)-(a^3+c^3)(a+c)=2(a^4+c^4)-(a^4+a^3c+ac^3+c^4)\)
\(=a^4+c^4-a^3c-ac^3=(a-c)(a^3-c^3)=(a-c)^2(a^2+ac+c^2)\geq 0\)
với mọi \(a,c>0\)
Do đó: \(2(a^4+c^4)\geq (a^3+c^3)(a+c)\Leftrightarrow \frac{a^4+c^4}{a^3+c^3}\geq \frac{a+b}{2}\)
Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\left\{\begin{matrix}
\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}\geq \frac{b+c}{2}\\
\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\geq \frac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế các BĐT thu được:
\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\geq \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c=2018\)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{2018}{3}$
\(\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge2018\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge a+b+c\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\dfrac{a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-c\right)}{a^3+b^3}\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)\left(\dfrac{a^3}{c^3+a^3}-\dfrac{b^3}{b^3+c^3}\right)\right)\ge0\)
\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\dfrac{c^3\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\right)\ge0\)
Dễ thấy BĐT cuối luôn đúng nên ta có ĐPCM
Dấu "=" <=> \(a=b=c=\dfrac{2018}{3}\)
Ta chứng minh: \(\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+b^4+ba^3\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+ba^3\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh. Áp dụng vào bài, ta có:
\(\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=2018\)
nh ghê ^.^
Mà hình như là bài cuối đề thi tỉnh thái bình năm 2016-2017 thì phải :V
TL :
a, 8524 : 4 = 2131
b, 9547 : 3 = 3182 dư 1
c, 8249 : 8 = 1031 dư 1
d, 1757:7 = 251
HT